آشنایی با منطق فازی

  • تاریخچه منطق فازی
  • تاریخچة مجموعه‌های فاز
  • مقایسه منطق فازی و لاجیک توسط پرفسور لطفی زاده:

    منطق کلاسیک شبیه شخصی است که بایک لباس رسمی‌مشکی، بلوز سفید آهاردار، کروات مشکی، کفش‌های براق و غیره که به یک مهمانی رسمی‌آمده است و منطق فازی تا اندازه ای شبیه فردی است که با لباس غیررسمی، شلوارجین، تی شرت و کفش‌های پارچه ای به همان مهمانی آمده است. این لباس را درگذشته نمی‌پذیرفتند، اما امروز جور دیگری است .

    تاریخچة مختصری از نظریه و کاربردهای فازی دهه 1960 آغاز نظریه فازی

  • زندگینامة پروفسور لطفی‌زاده
  • تعریف سیستم‌های فازی و انواع آن
  • چرا سیستم‌های فازی
  • سیستم‌های فازی چگونه سیستم‌هایی هستند؟
  • انواع سیستم‌های فازی
  • سیستم‌های فازی با فازی‌ساز و غیر فازی ساز
  • کاربردهای منطق فازی
  • منطق فازی و هوش مصنوعی‌

محصولات مرتبط

تاریخچه منطق فازی

زمانی که در سال 1965 پروفسور لطفی‌زاده، استاد ایرانی‌الاصل دانشگاه برکلی، اولین مقاله خود را در زمینه فازی تحت عنوان مجموعه‌های فازی (FUZZY TEST) منتشر کرد، هیچ کس باور نداشت که این جرقه‌ای خواهد بود که دنیای ریاضیات را به طور کلی تغییر دهد.گرچه در دهه 1970 و اوایل دهه 1980 مخالفان جدی برای نظریه فازی وجود داشت، اما امروزه هیچ کس نمی‌تواند ارزش‌های منطق فازی و کنترل‌های فازی را منکر شود.
افتخار هر ایرانی است که پایه علوم قرن آینده از نظریات یک ایرانی می‌باشد؛ باید قدر این فرصت را دانست و در تعمیم نظریه فازی و استفاده از آن کوشش و تلاش کرد.
زمینه‌های پژوهش و تحقیق در نظریه فازی بسیار گسترده می‌باشد؛ پژوهشگران علاقه‌مند می‌توانند با پژوهش و تحقیق در این زمینه باعث رشد و شکوفایی هرچه بیشتر نظریه فازی شوند.
در این مقاله سعی شده است که خوانندگان محترم با نظریه فازی و تاریخچه آن آشنا شوند و زمینه‌های تحقیق و پژوهش مورد بررسی قرار گیرد.
زمانی که در سال 1965 پروفسور لطفی‌زاده، استاد ایرانی‌الاصل دانشگاه برکلی، اولین مقاله خود را در زمینه فازی تحت عنوان مجموعه‌های فازی (FUZZY TEST) منتشر کرد، هیچ کس باور نداشت که این جرقه‌ای خواهد بود که دنیای ریاضیات را به طور کلی تغییر دهد.
گرچه در دهه 1970 و اوایل دهه 1980 مخالفان جدی برای نظریه فازی وجود داشت، اما امروزه هیچ کس نمی‌تواند ارزش‌های منطق فازی و کنترل‌های فازی را منکر شود.
افتخار هر ایرانی است که پایه علوم قرن آینده از نظریات یک ایرانی می‌باشد؛ باید قدر این فرصت را دانست و در تعمیم نظریه فازی و استفاده از آن کوشش و تلاش کرد.
زمینه‌های پژوهش و تحقیق در نظریه فازی بسیار گسترده می‌باشد؛ پژوهشگران علاقه‌مند می‌توانند با پژوهش و تحقیق در این زمینه باعث رشد و شکوفایی هرچه بیشتر نظریه فازی شوند.
در این مقاله سعی شده است که خوانندگان محترم با نظریه فازی و تاریخچه آن آشنا شوند و زمینه‌های تحقیق و پژوهش مورد بررسی قرار گیرد.
امید است که بتوان قدمی‌هر چند کوچک در جهت تعالی کشور عزیزمان ایران برداریم

تاریخچة مجموعه‌های فاز
نظریة مجموعه فازی در سال 1965 توسط پروفسور لطفی عسگرزاده، دانشمند ایرانی‌تبار و استاد دانشگاه برکلی امریکا عرضه شد.
اگر بخواهیم نظریه مجموعه‌های فازی را توضیح دهیم، باید بگوییم نظریه‌ای است برای اقدام در شرایط عدم اطمینان؛ این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم و متغیرها و سیستم‌هایی را که نادقیق و مبهم هستند، صورت‌بندی ریاضی ببخشد و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم‌گیری در شرایط عدم اطمینان فراهم آورد.
پرواضح است که بسیاری از تصمیمات و اقدامات ما در شرایط عدم اطمینان است و حالت‌های واضح غیر مبهم، بسیار نادر و کمیاب‌ می‌باشند.
نظریة مجموعه‌های فازی به شاخه‌های مختلفی تقسیم شده است که بحث کامل و جامع در مورد هر شاخه، به زمان بیشتر و مباحث طولانی‌تری احتیاج دارد.
در این مبحث که با انواع شاخه‌های فازی و کاربرد آنها آشنا می‌شویم، تلاش شده است که مباحث به صورت ساده ارائه شود و مسائل بدون پیچیدگی‌های خاص مورد بررسی قرار گیرد.
همچنین تلاش شده است که جنبه‌های نظری هر بحث تا حد امکان روشن شود؛ گرچه در بسیاری موارد به منظور اختصار، از بیان برهان‌ها چشمپوشی شده است و علاقه‌مندان را به منابع ارجاع داده‌ایم. مطالعه این پژوهش می‌تواند زمینه‌ای کلی و فراگیر دربارة اهم شاخه‌های نظریه مجموعه‌های فازی فراهم ‌آورد؛ اما علاقه‌مندان می‌توانند با توجه به نوع و میزان علاقه و هدف خود، به مراجع اعلام شده، مراجعه نمایند.
تاریخچة مختصری از نظریه و کاربردهای فازی دهه 1960 آغاز نظریه فازی
نظریه فازی به وسیله پروفسور لطفی‌زاده در سال 1965 در مقاله‌ای به نام مجموعه‌های فازی معرفی شد.
ایشان قبل از کار بر روی نظریه فازی، یک استاد برجسته در نظریه کنترل بود. او مفهوم «حالت» را که اساس نظریه کنترل مدرن را شکل می‌دهد، توسعه داد.
عسگرزاده در سال 1962 چیزی را بدین مضمون برای سیستم‌های بیولوژیک نوشت: ما اساساً به نوع جدید ریاضیات نیازمندیم؛ ریاضیات مقادیر مبهم یا فازی که توسط توزیع‌های احتمالات قابل توصیف نیستند.
وی فعالیت خویش در نظریه فازی را در مقاله‌ای با عنوان «مجموعه‌های فازی» تجسم بخشید.
مباحث بسیاری در مورد مجموعه‌های فازی به وجود آمد و ریاضیدانان معتقد بودند نظریه احتمالات برای حل مسائلی که نظریه فازی ادعای حل بهتر آن را دارد، کفایت می‌کند.
دهة 1960 دهة چالش کشیدن و انکار نظریه فازی بود و هیچ یک از مراکز تحقیقاتی، نظریه فازی را به عنوان یک زمینه تحقیق جدی نگرفتند.
اما در دهة 1970، به کاربردهای عملی نظریه فازی توجه شد و دیدگاه‌های شک‌برانگیز درباره ماهیت وجودی نظریه فازی مرتفع شد.
استاد لطفی‌زاده پس از معرفی مجموعة فازی در سال 1965، مفاهیم الگوریتم فازی را در سال 1968، تصمیم‌گیری فازی را در سال 1970 و ترتیب فازی را در سال 1971 ارائه نمود. ایشان در سال 1973 اساس کار کنترل فازی را بنا کرد.
این مبحث باعث تولد کنترل‌کننده‌های فازی برای سیستم‌های واقعی بود؛ ممدانی (Mamdani) و آسیلیان (Assilian) چهارچوب اولیه‌ای را برای کنترل‌کننده فازی مشخص کردند. در سال 1978 هومبلاد (Holmblad) و اوسترگارد(Ostergaard) اولین کنترل‌کننده فازی را برای کنترل یک فرایند صنعتی به کار بردند که از این تاریخ، با کاربرد نظریه فازی در سیستم‌های واقعی، دیدگاه شک‌برانگیز درباره ماهیت وجودی این نظریه کاملاً متزلزل شد.
دهة 1980 از لحاظ نظری، پیشرفت کندی داشت؛ اما کاربرد کنترل فازی باعث دوام نظریه فازی شد.
مهندسان ژاپنی به سرعت دریافتند که کنترل‌کننده‌های فازی به سهولت قابل طراحی بوده و در مورد بسیاری مسائل می‌توان از آنها استفاده کرد.
به علت اینکه کنترل فازی به یک مدل ریاضی نیاز ندارد، می‌توان آن را در مورد بسیاری از سیستم‌هایی که به وسیلة نظریه کنترل متعارف قابل پیاده‌سازی نیستند، به کار برد.
سوگنو مشغول کار بر روی ربات فازی شد، ماشینی که از راه دور کنترل می‌شد و خودش به تنهایی عمل پارک را انجام می‌داد.
یاشونوبو (Yasunobu) و میاموتو (Miyamoto) از شرکت هیتاچی کار روی سیستم کنترل قطار زیرزمینی سندایی را آغاز کردند. بالاخره در سال 1987 پروژه به ثمر نشست و یکی از پیشرفته‌ترین سیستم‌های قطار زیرزمینی را در جهان به وجود آورد.
در دومین کنفرانس‌ سیستم‌های فازی که در توکیو برگزار شد، درست سه روز بعد از افتتاح قطار زیرزمینی سندایی، هیروتا (Hirota) یک روبات فازی را به نمایش گذارد که پینگ‌پونگ بازی می‌کرد؛ یاماکاوا (Yamakawa) نیز سیستم فازی را نشان داد که یک پاندول معکوس را در حالت تعادل نشان می‌داد. پس از این کنفرانس، توجه مهندسان، دولتمردان و تجار جلب شد و زمینه‌های پیشرفت نظریه فازی فراهم شد.
دهة 1990 ، توجه محققان امریکا و اروپا به سیستم‌های فازی
موفقیت سیستم‌های فازی در ژاپن، مورد توجه محققان امریکا و اروپا واقع شد و دیدگاه بسیاری از محققان به سیستم‌های فازی تغییر کرد.
در سال 1992 اولین کنفرانس بین‌المللی در مورد سیستم‌های فازی به وسیله بزرگترین سازمان مهندسی یعنی IEEE برگزار شد.
در دهة 1990 پیشرفت‌های زیادی در زمینة سیستم‌های فازی ایجاد شد؛ اما با وجود شفاف شدن تصویر سیستم‌های فازی، هنوز فعالیت‌های بسیاری باید انجام شود و بسیاری از راه‌حل‌ها و روش‌ها همچنان در ابتدای راه قرار دارد. بنابراین توصیه می‌شود که محققان کشور با تحقیق و تفحص در این زمینه، موجبات پیشرفت‌های عمده در زمینة نظریه فازی را فراهم نمایند.
زندگینامة پروفسور لطفی‌زاده

استاد لطفی‌زاده در سال 1921 در باکو متولد شد. آنجا مرکز آذربایجان شوروی بود. لطفی‌زاده یک شهروند ایرانی بود؛ پدرش یک تاجر و نیز خبرنگار روزنامة ایرانیان بود.
استاد لطفی‌زاده از 10 تا 23 سالگی در ایران زندگی کرد و به مدرسة مذهبی رفت. خاندان لطفی‌زاده از اشراف و ثروتمندان ایرانی بودند که همیشه ماشین و خدمتکار شخصی داشتند.
در سال 1942 با درجة کارشناسی مهندسی برق از دانشکده فنی دانشگاه تهران فارغ‌التحصیل شد. او در سال 1944 وارد امریکا شد و به دانشگاه MIT رفت و در سال 1946 درجة کارشناسی‌ارشد را در مهندسی برق دریافت کرد. در سال 1951 درجة دکترای خود را در رشتة مهندسی برق دریافت نمود و به استادان دانشگاه کلمبیا ملحق شد. سپس به دانشگاه برکلی رفته و در سال 1963 ریاست دپارتمان مهندسی برق دانشگاه برکلی را که بالاترین عنوان در رشتة مهندسی برق است، کسب نمود. لطفی‌زاده انسانی است که همیشه موارد مخالف را مورد بررسی قرار داده و به بحث دربارة آن می‌پردازد. این خصوصیت، قابلیت پیروزی بر مشکلات را به لطفی‌زاده اعطا نموده است.
در سال 1956 لطفی‌زاده بررسی منطق چند ارزشی و ارائة مقالات تخصصی در مورد این منطق را آغاز کرد.
پروفسور لطفی‌زاده از طریق مؤسسة پرینستون با استفن کلین آشنا شد. استفن کلین کسی است که از طرف مؤسسة پرینستون، منطق چند ارزشی را در ایالات متحده رهبری می‌کرد. کلین متفکر جوان ایرانی را زیر بال و پر خود گرفت. آنها هیچ مقاله‌ای با یکدیگر ننوشتند، اما تحت تأثیر یکدیگر قرار داشتند.
لطفی‌زاده اصول منطق و ریاضی منطق چند ارزشی را فرا گرفت و به کلین اساس مهندسی برق و نظریة اطلاعات را آموخت.
وی پس از آشنایی با پرینستون، شیفتة منطق چند ارزشی شد.
در سال 1962 لطفی‌زاده تغییرات مهم و اصلی را در مقالة «از نظریة مدار به نظریة سیستم» در مجلة IRE که یکی از بهترین مجله‌های مهندسی آن روز بود، منتشر ساخت. در اینجا برای اولین بار عبارت فازی را برای چند ارزشی پیشنهاد داد.
لطفی‌زاده پس از ارائة منطق فازی، در تمام دهة 1970 و دهة 1980 به منتقدان خود در مورد این منطق پاسخ می‌داد. متانت، حوصله و صبوری استاد در برخورد با انتقادات و منتقدان منطق فازی از خود بروز می‌داد، در رشد و نمو منطق فازی بسیار مؤثر بوده است، به طوری که رشد کاربردهای کنترل فازی و منطق فازی در سیستم‌های کنترل را مدیون تلاش و کوشش پروفسور لطفی‌زاده می‌دانند و هرگز جهانیان تلاش این بزرگ‌مرد اسطوره‌ای ایرانی را فراموش نخواهند کرد.
تعریف سیستم‌های فازی و انواع آن
واژه فازی در فرهنگ لغت آکسفورد به صورت مبهم، گنگ و نادقیق تعریف شده است. اگر بخواهیم نظریة مجموعه‌های فازی را تعریف کنیم، باید بگوییم که نظریه‌ای است برای اقدام در شرایط عدم اطمینان؛ این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم و متغیر‌ها و سیستم‌هایی را که نادقیق هستند، صورت‌بندی ریاضی ببخشد و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم‌گیری در شرایط عدم اطمینان فراهم آورد.
چرا سیستم‌های فازی:
دنیای واقعی ما بسیار پیچیده‌تر از آن است که بتوان یک توصیف و تعریف دقیق برای آن به دست آورد؛ بنابراین باید برای یک مدل، توصیف تقریبی یا همان فازی که قابل قبول و قابل تجزیه و تحلیل باشد معرفی شود.
با حرکت به سوی عصر اطلاعات، دانش و معرفت بشری بسیار اهمیت پیدا می‌کند. بنابراین ما به فرضیه‌ای نیاز داریم که بتواند دانش بشری را به شکلی سیستماتیک فرموله کرده و آن را به همراه سایر مدل‌های ریاضی در سیستم‌های مهندسی قرار دهد
سیستم‌های فازی چگونه سیستم‌هایی هستند؟
سیستم‌های فازی، سیستم‌های مبتنی بر دانش یا قواعد می‌باشند؛ قلب یک سیستم فازی یک پایگاه دانش است که از قواعد اگر ـ آنگاه فازی تشکیل شده است.
یک قاعده اگر ـ آنگاه فازی، یک عبارت اگر ـ آنگاه است که بعضی کلمات آن به وسیله توابع تعلق پیوسته مشخص شده‌اند.
مثال:
اگر سرعت خودرو بالاست، آنگاه نیروی کمتری به پدال گاز وارد کنید.
کلمات «بالا» و «کم» به وسیله توابع تعلق مشخص شده‌اند؛ توضیحات کامل در شکل ارائه شده است.
مثال 1-1:
فرض کنید می‌خواهیم کنترل‌کنند‌ه‌ای طراحی کنیم که سرعت خودرو را به طور خودکار کنترل کند. راه‌حل این است که رفتار رانندگان را شبیه‌سازی کنیم؛ بدین معنی که قواعدی را که راننده در حین حرکت استفاده می‌کند، به کنترل‌کنندة خودکار تبدیل نماییم.
در صحبت‌های عامیانه راننده‌ها در شرایط طبیعی از 3 قاعده زیر در حین رانندگی استفاده می‌کنند:
اگر سرعت پایین است، آنگاه نیروی بیشتری به پدال گاز وارد کنید.
اگر سرعت متوسط است، آنگاه نیروی متعادلی به پدال گاز وارد کنید.
اگر سرعت بالاست، آنگاه نیروی کمتری به پدال گاز وارد کنید.
به طور خلاصه، نقطة شروع ساخت یک سیستم فازی به دست آوردن مجموعه‌ای از قواعد اگر ـ آنگاه فازی از دانش افراد خبره یا دانش حوزه مورد بررسی می‌باشد؛ مرحلة بعدی، ترکیب این قواعد در یک سیستم واحد است.
انواع سیستم‌های فازی
سیستم‌های فازی خالص
سیستم‌های فازی تاکاگی ـ سوگنوکانگ (TSK)
سیستم‌های با فازی‌ساز و غیر فازی‌ساز
سیستم فازی خالص
موتور استنتاج فازی، این قواعد را به یک نگاشت از مجموعه‌های فازی در فضای ورودی به مجموعه‌های فازی و در فضای خروجی بر اساس اصول منطق فازی ترکیب می‌کند.
مشکل اصلی در رابطه با سیستم‌های فازی خالص این است که ورودی‌ها و خروجی‌های آن مجموعه‌های فازی می‌باشند. درحالی که در سیستم‌های مهندسی، ورودی‌ها و خروجی‌ها متغیرهایی با مقادیر حقیقی می‌باشند.
برای حل این مشکل، تاکاگی سوگنو و کانگ، نوع دیگری از سیستم‌های فازی معرفی کرده‌اند که ورودی‌ها و خروجی‌های آن متغیرهایی با مقادیر واقعی هستند.
سیستم فازی تاکاگی ـ سوگنو و کانگ
بدین ترتیب قاعده فازی از یک عبارت توصیفی با مقادیر زبانی، به یک رابطة ساده تبدیل شده است؛ به طور مثال در مورد خودرو می‌توان اعلام کرد که اگر سرعت خودرو X باشد، آنگاه نیروی وارد بر پدال گاز برابر Y=CX می‌باشد.
مشکلات عمدة سیستم فازی TSK عبارت است از:
بخش «آنگاه» قاعدة یک فرمول ریاضی بوده و بنابراین چهارچوبی را برای نمایش دانش بشری فراهم نمی‌کند.
این سیستم دست ما را برای اعمال اصول مختلف منطق فازی باز نمی‌گذارد و در نتیجه انعطاف‌پذیری سیستم‌های فازی در این ساختار وجود ندارد.
برای حل این مشکلات نوع سومی‌از سیستم‌های فازی یعنی سیستم فازی با فازی‌سازها و غیر فازی‌سازها مورد استفاده قرار گرفت.
سیستم‌های فازی با فازی‌ساز و غیر فازی ساز
این سیستم فازی معایب سیستم فازی خالص و سیستم فازی TSK را می‌پوشاند. در این مبحث، از این پس سیستم فازی با فازی ساز و غیر فازی‌ساز منظور خواهد بود.
به عنوان نتیجه‌گیری برای این بخش لازم است یادآوری شود که جنبة متمم نظریه سیستم‌های فازی این است که یک فرایند سیستماتیک را برای تبدیل یک پایگاه دانش به یک نگاشت غیر فعلی فراهم می‌سازد.
زمینه‌های تحقیق عمده در نظریه فازی
منظور از نظریه فازی، تمام نظریه‌هایی است که از مفاهیم اساسی مجموعه‌های فازی یا توابع تعلق استفاده می‌کنند. مطابق شکل، نظریه فازی را می‌توان به پنج شاخة عمده تقسیم کرد که عبارتند از:
ریاضیات فازی
مفاهیم ریاضیات کلاسیک، با جایگزینی مجموعه‌های فازی با مجموعه‌های کلاسیک توسعه پیدا کرده است.
منطق فازی و هوش مصنوعی
که در آن منطق کلاسیک تقریب‌هایی یافته و سیستم‌های خبره بر اساس اطلاعات و استنتاج تقریبی توسعه پیدا کرده است.
سیستم‌های فازی
سیستم‌های فازی که شامل کنترل فازی و راه‌حل‌هایی در زمینة پردازش سیگنال و مخابرات می‌باشد.
عدم قطعیت و اطلاعات
انواع عدم قطعیت‌ها را مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌دهد.
تصمیم‌گیری فازی
مسائل بهینه‌سازی را با محدودیت‌ها در نظر می‌گیرد.
کاربردهای منطق فازی
منطق فازی کاربردهای متعددی دارد. ساده‌ترین نمونه یک سیستم کنترل دما یا ترموستات است که بر اساس قوانین فازی کار می‌کند. سال‌هاست که از منطق فازی برای کنترل دمای آب یا میزان کدرشدن آبی که لباس‌ها در آن شسته شده‌اند در ساختمان اغلب ماشین‌های لباسشویی استفاده می‌شود.
امروزه ماشین‌های ظرفشویی و بسیاری از دیگر لوازم خانگی نیز از این تکنیک استفاده می‌کنند. منطق فازی در صنعت خودروسازی نیز کاربردهای فروانی دارد. مثلاً سیستم ترمز و ABS در برخی از خودروها از منطق فازی استفاده می‌کند. یکی از معروف‌ترین نمونه‌های به‌کارگیری منطق فازی در سیستم‌های ترابری جهان، شبکه مونوریل (قطار تک ریل) توکیو در ژاپن است. سایر سیستم‌های حرکتی و جابه‌جایی بار، مثل آسانسورها نیز از منطق فازی استفاده می‌کنند

سیستم‌های تهویه هوا نیز به وفور منطق فازی را به‌کار می‌گیرند. از منطق فازی در سیستم‌های پردازش تصویر نیز استفاده می‌شود. یک نمونه از این نوع کاربردها را می‌توانید در سیستم‌های <تشخیص لبه و مرز> اجسام و تصاویر(3) مشاهده کنید که در روباتیک نیز کاربردهایی دارد. به طور کلی خیلی از مواقع در ساختمان سیستم‌های تشخیص الگوها (Pattern Recognition)مثل سیستم‌های تشخیص گفتار و پردازش تصویر از منطق فازی استفاده می‌شود.

کاربردهای عملی

سیستم‌های فازی را می‌توان بعنوان کنترل کننده حلقه باز و یا کنترل کننده حلقه بسته مورد استفاده قرار داد .هنگامی‌که بعنوان کنترل کننده حلقه باز استفاده میشود سیستم فازی معمولا بعضی پارامترهای کنترل را معین کرده و انگاه سیستم مطابق با این پارامترها ی کنترل کار می‌کند. بسیاری از کار برد‌های سیستم فازی در الکترونیک به این دسته تعلق دارند. هنگامی‌که سیستم فازی بعنوان یک کنترل کننده حلقه بسته استفاده میشود در این حالت خروجی‌های فرایند را اندازه گیری کرده و بطور همزمان عملیات کنترل را انجام میدهد . کاربرد سیستم فازی در فرایندهای صنعتی به این دسته تعلق دارد.

منطق فازی روشی برای پردازش وقایع غیر قطعی ارائه می‌کند؛ دقیقا آنچه که در طبیعت و زندگی روزمره با آن در ارتباط هستم. در منطق فازی با مقادیری غیر قطعی و تقریبی کار می‌کنیم؛ محدوده‌ای از احتمالات که ممکن است اتفاق بیافتند. منطق فازی در مقابل منطق باینری binary  یا منطق Boolean  قرار دارد.

منطق فازی برای طراحی سیستم‌های خبره expert systems  به کار می‌رود. سیستم‌های خبره قوانین جهان واقع را شبیه سازی می‌کنند. کنترل خودکار ترافیک، دوربین‌های فیلمبرداری، ماشین‌های لباسشویی هوشمند، سیستم‌های تشخیص هویت از روی اثر انگشت یا تصویر مردمک چشم و غلط یاب تایپی در نرم افزارهای ویرایش متن مانند MS-Word  از منطق فازی استفاده می‌کنند.

نارسایی منطق  0  و  1  برای شبیه سازی جهان واقعی را منطق فازی کاملا حل می‌کند. برای مثال در سیستم راننده خودکار اتومبیل، محاسبه و کنترل  فاصله اتومبیل از کناره جدول یا اتومبیل‌های دیگر با منطق باینری ممکن نیست و در این شرایط منطق فازی مشکل گشا خواهد بود.

اگر رانندگی آموزش می‌دهید برای بیان فاصله بین اتومبیل و کناره جدول خواهید گفت: “تقریبا نیم متر”. تنها روش برای گفتن چنین مقادیر غیر قطعی در سیستم‌های کامپیوتری استفاده از منطق فازی است.

 

ماشین شستشوی فازی:

 

سیستم فازی مورد استفاده یک سیستم سه ورودی یک خروجی است که سه ورودی فوق نوع کثیفی  و مقدار اندازه گیری شده کثیفی وحجم لباس بوده و خروجی  تعداد دورهای مناسب شستشو میباشد .بعنوان ورودی (سنسورهایی)در این سیستم تعبیه شده این سنسورها که از نوع نوری می‌با شند میزان نوری را که از طرف مقابل ساطع شده واز آب عبور کرده اندازه گیری می‌نمایند .سنسور نوری همچنین میتواند معین کند که نوع کثیفی چیست لباس گل آلود است یا چرب؟ گل در اب سریعتر حل می‌شود بنابراین اگر نور دریافتی بسرعت کاهش پیدا کند در آن صورت لباس گل آلود است در حالی که اگر لباس روغنی باشد کندتر در آب حل شده و کاهش نور دریافتی کندتر خواهد بود . ماشین همچنین دارای یک سنسور بار می‌باشد که حجم لباس‌ها  را ثبت می‌کند واضح است که تعدادلباس‌های بیشتر زمان بیشتری برای شستشو لازم دارد .موارد فوق را می‌توان در تعدادی قاعده اگر- آنگاه فازی برای ساخت یک سیستم فازی خلاصه کرد.

تثبیت کننده تصویر دیجیتال :

 

هر کس که با یک دوربین فیلم برداری کار کرده  باشد میداند که فیلم برداری بدون لرزش دست کار مشکلی است برای تصیح خطای ناشی از لرزش دست نوع جدیدی از دوربین‌ها به بازار عرضه شده است . این نوع دوربین‌ها که بر اساس سیستم‌های فازی میباشند تثبیت کننده تصویر دیجیتال نامیده شده اند . این سیستم‌ها بر اساس قواعد (هیوریستیک)زیر ساخته شده اند:10-اگر تمامی‌نقاط تصویر به یک جهت حرکت کرده اند آنگاه دست لرزش داشته است 0 11)اگر فقط تعدادی نقاط تصویر حرکت کرده است آنگاه دست لرزش نداشته است .

 

کنترل فازی کوره سیمان :

 

سیمان بوسیله آسیاب کلینکر که ترکیبی از مواد معدنی است در یک کوره ساخته میشود . بدلیل این که عملکرد این کوره غیر خطی ومتغییر با زمان میباشد وداده‌های نمونه برداری کمی‌نیز دارد کنترل آن با استفاده از روشهای کنترل متعارف کاری مشکل است. در اواخر دهه 1970 شرکتی در دانمارک یک سیستم فازی را برای کنترل کوره سیمان ابداع نمود  . سیستم فازی (کنترل فازی فوق چهار ورودی و دو خروجی داشت) ورودی‌های چهارگانه عبارتند  اند از:

1)درصد اکسیژن در گازهای اگزوز

2)درجه  حرارت گازهای اگزوز

3)گشتاور آسیاب کوره

4)وزن حجمی‌کلینکر

خروجی‌های این سیستم نیز

1)میزان زغال سنگ ریخته شده به کوره

2)میزان جریان هوا میباشد.

مجموعه ی که از قواعد اگر-آنگاه فازی رابطه خروجی‌ها را با ورودی‌ها مشخص می‌کند .بعنوان مثال :

1)اگر درصد اکسیژن بالا ودرجه حرارت پایین است آنگاه درجه هوا را افزایش دهید.

2)اگر درصد اکسیژن بالا و درجه حرارت بالا است آنگاه میزان زغال سنگ را اندکی کاهش دهید.

سیستم فازی ای که با ترکیب این قواعد ساخته شده بود در سال 1978 به مدت 6 روز در کوره سیمان شرکت اسمیت در دانمارک بکار گرفته شد ه که نسبت به حالت کنترل توسط انسان و همچنین مصرف سوخت بهبود را نشان میداد.

 

کنترل فازی قطار زیرزمینی :

 

یکی از مهمترین کاربرد سیستم‌های فازی را تا امروز می‌توان سیستم کنترل فازی متروی سندایی در ژاپن بر شمرد.مسیر شمال جنوبی این قطار به طور6/13 کیلومترودارای16 ایستگاه می‌باشد . سیستم فازی آن چهار پارامتررابطورهمزمان درنظرمی‌گیرد:

ایمنی ،راحتی سرنشینان، رسیدن به سرعت مطلوب ودقت ترمز. سیستم فازی دارای دوبخش است:بخش کنترل کننده سرعت  ( که سرعت قطاررا در حد مجاز نگاه می‌دارد) وبخش کنترل کننده توقف اتوماتیک (که سرعت قطارراتا توقف نهایی تنظیم می‌کند) بخش کنترل کننده سرعت ازقواعدزیر استفاده می‌کند :

برای ایمنی :اگرسرعت قطارداردبه مرز مجازنزدیک شود، آنگاه بیشترین میزان ترمز را انتخاب کنید.

برای راحتی سرنشینان، اگرسرعت قطاردرمحدوده مجاز است،آنگاه عملکرد کنترل ترمزرا تغییر ندهید.

البته درسیستم واقعی از تعداد پا را مترها وقواعد بیشتری استفاده شده است.سیستم توقف خودکار رامی‌توان از روی چنین قواعدی بنا کرد:

برای راحتی سرنشینان:اگر قطار درمنطقه مجاز متوقف خواهد شد آنگاه عمل کرد کنترل ترمزراتغییرندهید.

برای راحتی وایمنی سرنشینان:اگر قطار در منطقه مجاز قراردارد آنگاه عمل کردکنترل ترمزرااز حالت شتاب به  حالت ترمز تغییر دهید.

البته باز هم درشتاب واقعی،از تعداد قواعد بیشتری استفاده شده است.امروزه قطارزیرزمینی سندایی یکی از پیشرفته ترین سیستمهای مترو محسوب شده که از سال   1991کارحمل ونقل مسافران رابه عهده دارد.
منطق فازی و هوش مصنوعی‌
جالب‌ترین کاربرد منطق فازی، تفسیری است که این علم از ساختار تصمیم‌گیری‌های موجودات هوشمند، و در راس آن‌ها، هوش انسانی، به دست می‌دهد. شاید یکی از جالب‌ترین کاربردهای منطق فازی هوش مصنوعی در بازی‌های رایانه‌ای و جلوه‌های ویژه سینمایی باشد. فیلم ارباب حلقه‌ها را بخاطر بیاورید. شاید اگر بگوییم ارباب حلقه‌ها فیلمی‌تقریبا مجازی است، سخنی به گزاف نگفته باشیم. بیشتر قسمت‌های این فیلم اساسا درون کامپیوتر خلق شده‌اند و واقعیت خارجی ندارند. کارگردان فیلم نزد یک متخصص جلوه‌های ویژه رفت و از او خواست که نرم‌افزاری بسازد که بتواند 70 هزار سوارکار زره‌پوش در حال حرکت را همچنان که به کشتار و خونریزی مشغولند، شبیه سازی کند.
در این برنامه متخصصان کامپیوتر و انیمیشن ابتدا موجوداتی را به صورت الگو ایجاد کرده بودند و سپس به کمک منطق فازی مصداق‌هایی تصادفی از این موجودات خیالی پدیدآورده بودند که حرکات تصادفی- اما از پیش تعریف شده‌ای ‌-‌ در اعضای بدن خود داشتند. این موجودات در حقیقت دارای نوعی هوش مصنوعی بودند و می‌توانستند برای نحوه حرکت دادن اعضای بدن خود تصمیم بگیرند. در عین حال تمام موجوداتی که در یک لشکر به سویی می‌تاختند یا با دشمنی می‌جنگیدند، از جهت حرکت یکسانی برخودار بودند و به سوی یک هدف مشخص حمله می‌کردند.
این ساختار کاملا‌ً پیچیده و هوشمند به فیلمسازان اجازه داده بود که این موجودات افسانه‌ای را در دنیای مجازی کامپیوتر به حال خود رها کنند تا به سوی دشمنان حمله کنند و این همه بی‌تردید بدون بهره‌گیری از منطق فازی امکان‌پذیر نبود.  شرکت Massive Software که به دلیل به‌کارگیری منطق فازی برای ایجاد هوش‌مصنوعی در طراحی لشکریان فیلم‌ ارباب حلقه‌ها برنده جایزه اسکار شد، بعداً این تکنیک را در فیلم‌های دیگری همچون I.Robot و King Kong نیز به‌کار برد.استفاده از منطق فازی برای هوشمند‌کردن موجودات نرم‌افزاری تنها گونه‌ای از کاربردهای این نظریه در هوش ‌مصنوعی است. منطق فازی در هوشمند ساختن روبات‌های سخت‌افزاری نیز کاربردهای زیادی دارد.

کاربرد منطق فازی در تحقیقات اجتماعی

مطلب ذیل بر گرفته از کتاب سیستم‌های استنباط فازی  و پژوهش‌های اجتماعی اثر دکتر وحید قاسمی‌عضو هیئت علمی‌دانشگاه اصفهان می‌باشد همچنین نکات دیگری بدان افزوده شد که به عنوان یکی از انواع روش‌های تحقیق در کلاس درس در باقر ساروخانی مورد بررسی قرارگرفته است . جهت مطالعه علاقه مندان به حوزه فازی در مسائل اجتماعی متن زیر معرفی می‌شود.

مقدمه:

  • برخي اصطلاحات نظير جهان فازي،منطق فازي، مجموعه‌هاي فازي، مدل سازي فازي، اعداد فازي و نظاير آنها در متون جامعه شناسي رو به گسترشند.

منطق فازی از جمله منطق‌های چندارزشی مي باشد. منطق کلاسیک هر چیزی را بر اساس یک سیستم دوتائی نشان می‌دهد ( درست یا غلط، 0 یا 1، سیاه یا سفید) ولی منطق فازی درستی هر چیزی را با یک عدد که مقدار آن بین صفر و یک است نشان می‌دهد. مثلاً اگر رنگ سیاه را عدد صفر و رنگ سفید را عدد 1 نشان دهیم، آن گاه رنگ خاکستری عددی نزدیک به صفر خواهد بود.

  • در سال 1965، دکتر لطفی‌زاده نظریه سیستم‌های فازی را معرفی کرد. در فضایی که دانشمندان به دنبال روش‌های ریاضی برای شکست دادن مسایل دشوارتر بودند، نظریه فازی به گونه‌ای دیگر از مدل‌سازی، اقدام کرد.
  • منطق فازی معتقد است که ابهام در ماهیت علم است. بر خلاف دیگران که معتقدند که باید تقریب‌ها را دقیق‌تر کرد تا بهره‌وری افزایش یابد، لطفی‌زاده معتقد است که باید به دنبال ساختن مدل‌هایی بود که ابهام را به عنوان بخشی از سیستم مدل بشمار آورد.
  • در منطق ارسطویی، یک دسته‌بندی درست و نادرست وجود دارد. تمام گزاره‌ها درست یا نادرست هستند. بنابراین جمله «هوا سرد است»، در مدل ارسطویی اساساً یک گزاره نمی‌باشد، چرا که مقدار سرد بودن برای افراد مختلف، متفاوت است و این جمله اساساً همیشه درست یا همیشه نادرست نیست. در منطق فازی، جملاتی هستند کهمقداری درست و مقداری نادرست هستند. برای مثال، جمله “هوا سرد است” یک گزاره منطقی فازی می‌باشد که درستی آن گاهی کم و گاهی زیاد است. گاهی همیشه درست و گاهی همیشه نادرست و گاهی تا حدودی درست است. منطق فازی می‌تواند پایه‌ریز بنیانی برای دانش اجتماعي جدیدی باشد که دست‌آورد‌های علمي دقيقتري را ارائه نمايد.
  • در شکل روبرو، سرد بودن، گرم بودن و داغ بودن، شرايطي برای مقایسه درجه حرارت هستند و هر نقطه ای روی این خطوط می‌تواند دارای یکی از سه ارزش بالا باشد. به عنوان مثال برای یک درجه حرارت خاص که در شکل با یک خط نشان داده شده است، می‌توان گفت: «مقداری سرد است»،«اندکی گرم است» یا «اصلاً داغ نیست»
  • قوانین علمی‌گذشته در فیزیک و مکانیک نیوتونی همه بر اساس منطق قدیم استوار گردیده‌اند. در منطق قدیم فقط دو حالت داریم: سفید و سیاه، آری و خیر، روشن و تاریک، یک و صفر، و درست و غلط. متغیرها در طبیعت یا در محاسبات بر دو نوعند: ارزش‌های کمی‌که می‌توان با یک عدد معین بیان نمود و ارزش‌های کیفی که براساس یک ویژگی بیان می‌شود.
  • مثال:
  • اگردرمورد قد افراد با ارزش عددی (سانتی‌متر)اندازه‌گیری شود و افراد را به دسته‌های قدکوتاه و قدبلند تقسیم‌بندی کنیم و حد آستانه ۱۸۰ سانتی‌متر برای قد بلندی مدنظر داشته باشيم. تمامی‌افراد زیر ۱۸۰ سانتی متر براساس منطق قدیم قدکوتاهند حتی اگر قد فرد ۱۷۹ سانتی‌متر باشد. ولی در مجموعه فازی هر یک از این صفات براساس شرايط عضویت تعریف و بین صفر تا یک ارزشگذاری می‌شوند. از آن جا که ذهن ما با منطق دیگری کارهایش را انجام می‌دهد و تصمیماتش را اتخاذ می‌کند، جهت شروع، ایجاد و ابداع منطق‌های تازه و چندارزشی مورد نیاز است که منطق فازی یکی از آن‌ها می‌باشد.
  • منطق فازي   Fuzzy Logicدر مقايسه با منطق كلاسيك Classic Logic
  • هر گاه در طرح روابط بين پديده‌ها (مثل رابطه توسعه يافتگي و دموكراسي) يا تدوين گزاره‌هاي منطقي (مثل اينكه كشور‌ها ي توسعه يافته ، دموكرات هستند )از مجموعه‌هاي قطعي استفاده شود، با منطق كلاسيك دو ارزشي مواجهيم .چنانچه در طرح روابط بين پديده‌ها ( مثل درجه توسعه يافتگي و درجه دموكرات بودن) يا تدوين روابط و گزاره‌هاي منطقي ( مثل اينكه مجموعه كشور‌هاي با درجه توسعه يافتگي از درجه بالاتري از دموكراسي برخوردارند)استفاده كنيم، از مجموعه‌هاي فازي با منطق فازي بهره مي بريم.
  • منطق فازي بدنبال آن است كه بگويد دقت،  اهميت نسبي دارد آلاوإلا‍ (Alavala2008)توسعه منطق فازي را عمدتا به خاطر نيازي دانسته است كه دانشمندان به يك چارچوب مفهومي براي تحليل دانش غير قطعي و غير دقيق و غيررياضي احساس مي كرده اند.
  • كنستانتين و همكاران (2001) منطق فازي را بيش از هر مفهوم ديگري با «عدم قطعيت» پيوند مي دهند  مفهومي كه هرچه بيشتر زندگي انسانهارا در بر مي گيرد.
  • يك مثال از منطق فازي در مقايسه با منطق كلاسيك :
  • فرض كنيد در طي يك مصاحبه از انديشمندي ،در پاسخ به اين پرسش كه براي رسيدن به يك نظام دموكراسي كدام يك از زمينه‌هاي فرهنگي، اجتماعي،و اقتصادي  لازم است؟ مجموعه اي از استدلالهاي زير را ارائه نمايد:
  • «واقعيت اين است كه رسيدن به دموكراسي نيازمند فراهم بودن شرايط اقتصادي است. كشور‌هائي مي توانند به دموكراسي دست يابند كه بيكاري، مساله اي حاد در آن نباشد. و اگر آرزوي اصلي درصد بالائي از جوانان يك كشور دستيابي به شغل باشد نمي توان انتظار داشت كه دموكراسي براي آنها در اولويت قرار گيرد و حاضر باشند براي دموكراسي هزينه اي پرداخت كنند.با ين حال شايد در چنين جامعه اي دموكراسي ضعيف شكل بگيرد اما نمي تواند پايدار باشد و….»
  • همانگونه كه ملاحظه مي شود در چنين چارچوبي ، انديشمندان از گزار‌هاي فازي استفاده كرده اند گزاره‌هاي مثل:

1)اگر آرزوي اصلي درصد بالائي از جوانان يك كشور دستيابي به شغل باشد نمي توان انتظار داشت كه دموكراسي براي آنها اولويت داشته باشد.

2) اگر آرزوي اصلي درصد بالائي از جوانان يك كشور دستيابي به شغل باشد آنها حاضر نيستند براي دسيابي به دموكراسي هزينه اي پرداخت كنند.

3) اگر در شرايط اقتصادي خوبي نباشيم ممكن است يك دموكراسي ضعيف شكل بگيرد و…

همه اين گزاره‌ها گزاره ي منطق  فازي هستند زيرا  اولا) از كميت‌هاي مثل «حاد » ،« درصد بالا»، «اولويت» «ضعيف»، «بالا»،« مهم»، «غلبه» وغبره استفاده شده است كه از نوع فازي مي باشند.

  • دوما)  همه موارد فوق از قوانين اگر……آنگاه…….(if……..then) استفاده مي كنند . كه اين قانون از اصول منطق فازي است.
  • و يا مثال‌هاي زيرمثال:

1) اگر آموزش عالي در سطح بالايي عموميت پيدا كند ،و مادي گرائي ضعيف باشد،و سنت گرائي ضعيف باشد و نگاه رسانه‌ها به تبليغ حقوق شهروندي مثبت باشد. آنگاه تقاضا براي آزادي‌هاي مدني بالا خواهد بود.

2) اگر آموزش عالي در سطح متوسطي عموميت پيدا كند ،و مادي گرائي قوي باشد،و سنت گرائي متوسط باشد و نگاه رسانه‌ها به تبليغ حقوق شهروندي منفي باشد. آنگاه تقاضا براي آزادي‌هاي مدني پائين خواهد بود.

  • چرا فازي:
  • دلايل توجيهي براي بهره گيري از منطق فازي چيست؟

1)كميت‌هايي كه در پژوهش‌هاي اجتماعي و بويژه در پيمايش‌ها با آنها مواجهيم عمدتا از نوع كميت‌هاي فازي هستند.( مثل مثال فوق)

2)  اعداد فازي اين امكان را براي پژوهشگر اجتماعي فراهم مي آورند كه مقياس‌هاي اندازه گيري كيفي( اسمي – رتبه اي) وكمي ( فاصله اي- نسبي)  را با يكديگر تلفيق و از مزاياي سنجش‌هاي كيفي و كمي در قالب مدرج سازي بهره برد.

3) داده‌هائي كه به هنگام مصاحبه با متخصصان حوزه‌هاي مختلف جامعه شناسي يا افرادمطلع ديگر، گرد آوري مي شود عمدتا از نوع داده‌هاي فازي اند. اين داده‌ها مبناي اصلي در ساخت پايگاه قواعد در سيستم‌هاي استنباط فازي هستند.

4) تحليل مجموعه‌هاي فازي رويكرد بسيار توانمندي در بررسي اثر گذاري پديده‌هاي اجتماعي بر يكديگر است. كه اين ويژگي( اثر گذاري پديده‌هاي اجتماعي برهم ) با تحليل‌هاي خطي همبستگي ، قابل دست يابي نيست.

5)بهره گيري از منطق فازي به پژوهشگر اجتماعي امكان ساخت مدل‌هاي پيچيده اي را مي دهدكه در آنها تركيب‌هاي پيچيده و متنوع علي، تبيين كننده خروجي‌هاي مدل هستند.

  • استمسون و وركويلن (2006) نيز پنج دليل عمده را براي بهره گيري از نظريه مجموعه‌هاي فازي را به شرح زير  مشخص نموده اند:

1) مجموعه‌هاي فازي توان تحليل ابهام را بطور سيستماتيك دارا هستند.

2) بسياري از سازه‌ها در علوم اجتماعي داراي خصيصه دو مقوله اي بودن وچند بعدي بودن هستند. متغيير‌هاي مقوله اي از نوع ترتيبي هستند و منطق فازي به خوبي قادر به تحليل چنين متغيرهايي است.

3) با بهره گيري از مجموعه‌هاي فازي مي توان روابط چند متغيره را فراتر از مدل خطي معمول تحليل كرد.

4) تحليل  فازي ،مجموعه اي  وفادار به مباني نظري است. نظريه‌ها اغلب با استفاده از اصطلاحات منطقي و مجموعه اي بيان مي شوند. در حالي كه اغلب مدل‌هاي  آماري براي متغيرهاي پيوسته اينگونه نيستند.

5) نظريه مجموعه‌هاي فازي تفكر مجموعه اي و متغير‌هاي پيوسته را به شيوه اي موشكافانه و با دقت زياد تركيب مي كنند.

  • استفاده از منطق فازي در پژوهش‌هاي نظري و كاربردي اجتماعي راهي نوين در اختيار پژوهشگران قرار مي دهد كه از طريق آن ، آزمون دقيق تر فرضيه‌ها ي پژوهشي و پرسش‌هاي تحقيق  امكان پذير مي شود .بنا براين راه حل‌هاي اثر بخش تر در اختيار انان  قرار مي گيرد.
  • وضعيت فرضيه در روش فازي:
  • در روش فازي داوري در مورد فرضيه‌ها  بسيار متفاوت از روشهاي غير فازي است. به عنوان مثال در روش تحليل كمي، مفاهيم به متغير تبديل و همبستگي ميان متغير‌ها بررسي مي شود.
  • اما در روش فازي مفهوم نه به عنوان يك متغير كه جايگزين مفهوم شده بلكه به  مثابه مجموعه فازي تلقي شده و آنگاه نوع و ميزان عضويت در آن مجموعه تعيين مي شود. به همان مثال دموكراسي در كشور‌ها برمي گرديم:
  • اگر دموكراسي دركشورها مورد بررسي قرارگيرد؛ در رويكرد دو ارزشي كشورهاي دموكراتيك و غير دموكراتيك را از هم متمايز مي كنيم و در روش فازي مجموعه ي كشور‌هاي دموكراتيك را در نظر مي گيريم و سپس نوع و ميزانعضويت كشور‌ها را در آن مچموعه بررسي مي كنيم.
  • يعني يك كشور ممكن است از ميزان كمي از دموكراسي برخوردار باشد و كشوري ديگر به مقدار ناچيزي از كشور قبلي خود بيشتر دموكراسي  داشته باشدو…. به عبارت ديگر مي توان گفت كه مقدار آن فقط صفر يا فقط يك نيست(دموكراسي /غير دموكراسي) بلكه مقدار آن در طول صفر و يك خواهد بود .

چند مثال از فرضيه‌هاي مبتني برهمبستگي:

1. بين هوش فرهنگي و بنياد گرائي رابطه وجود دارد.

2. بين بنيادگرائي و هوش فرهنگي رابطه وجود دارد.

3. هر چه هوش فرهنگي قويتر بنياد گرائي ضعيفتر مي باشد.

4. هر چه بنيادگرائي قوي تر هوش فرهنگي ضعيف تر مي باشد.

اما فرضيه‌هاي مبتني بر تحليل فازي:

1. بنيادگرايان داراي هوش فرهنگي پائين هستند.

2. بسياري از افراد داراي هوش فرهنگي پائين بنياد گرا هستند

  • يعني يك كشور ممكن است از ميزان كمي از دموكراسي برخوردار باشد و كشوري ديگر به مقدار ناچيزي از كشور قبلي خود بيشتر دموكراسي  داشته باشدو…. به عبارت ديگر مي توان گفت كه مقدار آن فقط صفر يا فقط يك نيست(دموكراسي /غير دموكراسي) بلكه مقدار آن در طول صفر و يك خواهد بود .

 

پیام بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

forty one − thirty four =