در قرن 19 ریاضیدان فرانسوی J.Fourier نشان داد که هر تابع تناوبی را می‌توان به صورت مجموع توابع سینوسی نمایش داد. سال‌ها بعد ایده او به سیگنال‌های تناوبی و غیر تناوبی تعمیم داده شد.
تبدیل فوریه هر سیگنال را به یک سری توابع نمایی مختلط با فرکانس‌های متفاوت تجزیه می‌کند. روش کار آن به صورت زیر است
X(f)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖x(t).e^(-2jπft) 〗 dt (1-4)
x(t) = ∫_(-∞)^(+∞)▒〖X(f).e^(-2jπft) 〗 df
در معادله فوق t نشان دهنده زمان، f فرکانس ، x سیگنال مورد نظر در بعد زمان و X سیگنال تبدیل یافته در بعد فرکانس است. رابطه 4-1 نشان دهنده تبدیل فوریه x(t) و رابطه پایین عکس تبدیل فوریه X(f) است. در حوزه زمان سیگنال x(t) در یک فرکانس خاص ضرب می‌شود و سپس مجموع آن برای تمام زمان‌ها محاسبه می‌شود. کاری که در واقع صورت می‌گیرد. سیگنال اصلی در یک عبارت مختلط شامل سینوس‌ها و کسینوس‌های فرکانس f ضرب می‌شود. سپس این حاصلضرب‌ها با هم جمع می-شوند. اگر حاصل جمع مقدار بزرگی بود می‌توان گفت که سیگنال x در فرکانس f دارای یک جزء غالب است. یعنی فرکانس f قسمت عمده فرکانس سیگنال را تشکیل می‌دهد. اگر سیگنال x(t) در فرکانس f دارای جزء غالب نباشد، حاصلضرب مقدار نسبتا کوچک خواهد بود[38].
اطلاعات ارائه شده در جمع مربوط به تمام زمان‌ها از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت است. در هر زمانی که فرکانس f اتفاق افتاده باشد تاثیر یکسانی در حاصل جمع دارد. این نشان می‌دهد که تبدیل فوریه برای سیگنال‌های غیر ایستا مناسب نیست. سیگنال غیر ایستا سیگنالی است که مشخصات آن در طول زمان تغییر می‌کند.
تبدیل فوریه نشان می‌دهد که آیا جزء فرکانسی خاصی در سیگنال وجود دارد یا نه. این اطلاعات مستقل از زمان وقوع آن است. یعنی زمان وقوع یک جزء فرکانسی به ما نشان داده نمی‌شود.
شکل (4-1) نشان دهنده سیگنال با رابطه زیر است.
x(t)=cos(2π5t) + cos(2π10t) + cos(2π20t) + cos(2π50t) (2-4)
این سیگنال دارای چهار جزء فرکانسی 5 ، 10، 20 و50 هرتز است. که در تمام زمان‌های سیگنال رخ می‌دهد. در شکل (4-2) از این سیگنال تبدیل فوریه گرفته ایم. چهار قله موجود در این شکل نشان دهنده چهار جزء فرکانسی است[39].
در شکل (4-3) یک سیگنال سینوسوئید نشان داده شده است. این سیگنال نیز دارای همان چهار مولفه فرکانسی است. ولی در زمان-های متفاوتی رخ داده است. در شکل (4-4) تبدیل فوریه این سیگنال نشان داده شده است. همانطور که می‌بینیم تبدیل فوریه این سیگنال تقریبا شبیه سیگنال قبلی با همان چهار قله است. نویز‌هایی که بین این قله‌ها وجود دارد نشان دهنده آن است که این جزء‌های فرکانسی نیز در سیگنال وجود دارد. چون مقدار جزء فرکانسی عمده ای نیستند مقدار کوچکی دارند. دلیل پیدایش آنها هم تغییرات ناگهانی بین فرکانس‌های مختلف است.
شکل 4-1 – سیگنال ایستا دارای چهار جزء فرکانسی 5 ، 10، 20 و 50 هرتز
شکل 4-2 – تبدیل فوریه سیگنال رابطه 2-4))
شکل 4-3 – سیگنال غیر ایستا دارای چهار جزء فرکانسی 5، 10، 20 و 50 هرتز
شکل 4-4 – تبدیل فوریه سیگنال شکل (3-4)
بنابراین یکی از مشکلات تبدیل فوریه این است که ابزار مناسبی برای تحلیل سیگنال‌های غیر ایستا نمی‌باشد. به خاطر این مشکلات دانشمندان تبدیل فوریه با دوره کوتاه (STFT)را معرفی کردند. در این تبدیل سیگنال به بخش‌های تقسیم می‌شود به طوریکه هر بخش از سیگنال را بتوان ایستا فرض کرد. برای این منظور پنجره ای انتخاب می‌شود که عرض آن برابر بخشی از سیگنال که ثابت است می‌باشد. سپس تابع پنجره و سیگنال در هم ضرب می‌شوند. این حاصل ضرب یک سیگنال است که باید تبدیل فوریه آن محاسبه شود.
رابطه 3-4 ، اعمال STFT را بر روی سیگنال نشان می‌دهد.
〖STFT〗_x^((w) ) (t^’,f)= ∫_t^∞▒[x(t).w^* (t-t^’)] .e^(-j2πft) dt (3-4)
در این رابطه x(t) سیگنال اصلی ، w(t) تابع پنجره و * بیانگر مزدوج مختلط است. همانطور که مشخص است STFT چیزی جز تبدیل فوریه حاصلضرب سیگنال در تابع پنجره نیست. برای هر t’ و f یک سری ضرایب STFT جدید محاسبه می‌شود.
مشکلی که در STFT وجود دارد به مفهومی‌به نام اصل عدم قطعیت هیزنبرگ مربوط است این اصل به اندازه حرکت و مکان ذرات در حال حرکت بر می‌گردد که می‌تواند به عنوان اطلاعات زمان – فرکانس سیگنال بکار رود.
این اصل به طور ساده می‌گویید که نمی‌توان نمایش دقیق و همزمان زمان- فرکانس یک سیگنال را بدست آورد. یعنی کسی نمی‌داند چه اجزای فرکانسی در هر زمان از نمونه ی یک سیگنال وجود دارد. چیزی که می‌توان فهمید فاصله‌های زمانی است که هر باند فرکانسی بوجود آمده که خود مشکل درجه تفکیک پذیری یا رزولیشن را بوجود می‌آورد.
پس تبدیل فوریه و نسخه اصلاح شده و تعمیم یافته آن STFT هر دو دارای مشکل می‌باشند . محققین برای این دو مشکل به تبدیل موجک روی آوردند.
تبدیل فوریه دارای کاربردهای مختلف ی مانند استخراج ویژگی ، فشرده سازی ، حذف نویز و … می‌باشد. که مهمترین آنها ویژگی-های است که برای تحلیل و دسته بندی سیگنال‌ها استفاده می‌کنیم.
