يك الگوريتم رمزگذاري تصوير با استفاده از مجموعه Mandelbrot

 

يك فيلد مهم در امنيت اطلاعات، الگوريتم رمزگذاري تصوير مي­باشد كه به يك نقطه تمركز تحقيقاتي تبديل شده است. همزمان چندين كار برروي مجموعه فركتال به عنوان كليد رمزگذاري ميان الگوريتم­هاي مختلف رمزگذاري انجام شده است. در اين مقاله مجموعه Mandelbrot (به طور مختصر مجموعه M) و تبديل Hilbert براي توليد كليد تصادفي به كار گرفته مي­شود. از آنجائيكه مجموعه M مي­تواند تنها با يك تعداد از پارامترها تكرار شود، از اينرو مي­تواد فضاي ذخيره­سازي را به مقدار زيادي كاهش دهد. علاوه بر اين كران­هاي نامتناهي از مجموعه M و تبديل Hilbert،‌تصادفي بودن كليد را فراهم مي­نمايد. نتايج تجربي نشان مي­دهد كه حتي اختلال جزئي پارامترها مي­تواند كليد را به طور چشمگيري تغيير دهد. علاوه بر اين الگوريتم نيازمند فضاي كوچك براي ذخيره­سازي كليد مي­باشد و رمزگذاري در زمان واقعي مي­تواند حاصل شود.

کلمات کلیدی:
مجموعه Mandelbrot
 ، تبدیل  Hilbert
 ، رمزگذاری تصویر

1-    مقدمه

امروزه تکنولوژی چند رسانه ای به طور گسترده مورد استفاده قرار میگیرد و رمزگذاری تصویر یک تکنیک موثر برای حفاظت تصویر میباشد . اغلب الگوریتم‌های رمزگذاری متعارف برای داده متنی یا داده باینری مورد استفاده قرار میگیرد و آنها دارای پیچیدگی محاسباتی بالای میباشند از آنجای که تصاویر چند رسانه ای دارای ساختارهای کدگذاری خاص و حجم انبوهی از داده‌ها میباشند ، الگوریتم رمزگذاری قدیمی‌برای برلوردن نیازهای زمان واقعی بسیار دشوار بوده و آنها ممکن است فرمت داده را تغییر دهند. در سال‌های اخیر متد‌های رمزگذاری تصویر شامل درست کردن تصویر در ترکیب با دیگر تکنولوژی پردازش تصویر و رمزگذاری از کلید‌ها استفاده می‌نماید.  Gao   یک الگوریتم را به ارمغان اورد که یک ماتریس را مبتنی بر نگاشت  Chaotic  برای درست کردن تصویر تولید میکند [1]  .   Wu  یک  رمزگذاری تصویر را با ترکیب کدگذاری Huffman  پیشنهاد میدهد [2] . Chen یک الگوریتم را پیشنهاد میدهد که کلید را مبتنی برنگاشت   Chaotic سه بعدی پیشنهاد میدهد و تصویر را با عملکرد XOR   رمزگذاری میکند [3]. براساس الگوریتم Liao  یک رمزگذاری تصویر متقارن [4] . را پیشنهاد میدهد . Wang   الگوریتم Liao   را مورد آنالیز قرار داده و یک الگوریتم بهبود یافته را مبتنی بر نگاشت منطقی پیشنهاد میدهد [5] . Rozourvan یک الگوریتم را با استفاده از مجموعه M   به عنوان کلید استفاده میکند [6] .  رمزگذاری یک تصویر با مجموعه M  یک روش جدید را برای کاربرد‌های فرکتال پیشنهاد میدهد. مجموعه  M  میتواند توسط چندین پارامتر ترسیم شود که ذخیره سازی پارامتر‌ها کلید را آسانتر میسازد. در همین حال مجموعه M  دارای کران‌های بی نهایت میباشد . این مقاله الگوریتم Rozourvan بهبود میدهد و یک الگوریتم با ترکیب مجموعه M  و تبدیل Hilbert   بیان میگردد.

2-    الگوریتم

2-1- مجموعه Mandelbrot

مجموعه M  از نام Benoit Mandelbrot    گرفته شده است که یک مجموعه از نقاط در صفحه مختلط میباشد که مرز آن یک صفحه فرکتال را شکل میدهد . مجموعه M در این مقاله مورد استفاده قرار گرفته است . به این خاطر که آن دارای ساختار‌های پیچیده ناشی از یک تعریف ساده میباشد و یک تغییر ساده از پارامتر میتواند به پیاده سازی شکل مجموعه M  بپردازد یک مجموعه M میتواند به طور معمول به صورت زیر تعریف شود :

مجموعه M  دارای شکل‌های توسعه یافته بسیاری میباشد . در این مقاله مجموعه M به صورت زیر ارائه شده است :

در روند تکرار مجموعه M  ، چهار پارامتر وجود دارد اگر یکی از آنها تغییر کند مجموعه M  متفاوت خواهد بود .

 

 

2-2- منحنی Hilbert

یک منحنی Hilbert یک منحنی پرنمودن فضای فرکتال میباشد که ابتدا توسط ریاضیدان آلمانی  David Hilbert  در سال 1891 پیشنهاد گردید . امروزه منحنی Hilbert به طور گسترده در پردازش تصویر مورد استفاده قرار میگیرد [7,8] .

منحنی Hilbert یک روش نگاشت فضای چند بعدی به فضای یک بعدی می‌باشد . از طریق نگاشت مختصات یک پیکسل در مختصات 2 بعدی به صورت (x,y)  نشان داده می‌شود که می‌تواند تبدیل به یک نشانه یک بعدی I  شود .

ما میتوانیم منحنی Hilbert را با استفاده از مراحل زیر بدست آوریم . ابتدا لبه مربع با تقسیم پیوسته از مربع اصلی به واحد‌های مربعی 2n  تقسیم می‌شود . سپس منحنی در طول مربع واحد ، هر واحد مربع حداقل یک بار درست می‌گردد. بنابر این هر نقطه برای هر تصویر اصلی در منحنی Hilbert اصلی دارای یک مختصات منحصر به فرد می‌باشد ، در غیر این صورت همان خواهد بود . عامل اصلی که اثرات منحنی Hilbert می‌باشد ، مختصات نقطه آزاد می‌باشد . در یک تصویر یکی از چهار نقطه گوشه می‌تواند نقطه شروع منحنی باشد .

2-3- رمزگذاری و رمزگشایی

همانطور که می‌دانیم هر تصویر رنگی یک مولفه از سه لایه می‌باشد ، بنابراین ما میتوانیم هر لایه را به صورت مستقل پردازش کنیم . محدوده مقادیر هر پیکسل در یک لایه [0,255]  می‌باشد . ما فرض میکنیم اندازه تصویر n×n   می‌باشد که  n  توانی از 2 می‌باشد . هر پیکسل در تصویر اصلی به صورت O(x,y) علامتگذاری می‌شود که مقادیر آن ، رنگ هر پیکسل می‌باشد . ما از نماد k  برای نمایش کلید استفاده میکنیم و T  ، تصویر بعد از رمزگذاری می‌باشد .

 

 

 

تابع رمزگذاری به صورت زیر می‌باشد :

 

تایع رمزگشایی به صورت زیر می‌باشد :

برای ایجاد کلید حساس تر ، ما از منحنی Hilbert برای تبدیل  مجموعه M  به عنوان کلید استفاده نمودیم . ایتدا مجموعه M که دارای 3 لایه می‌باشد به عنوان یک ماتریس در نظر گرفته میشود . هر نقطه i(x,y)   در ماتریس را می‌توان به عنوان یک مختصات 2 بعدی در نظر گرفت و i(0,0) به بالاترین پیکسل سمت چپ اشاره دارد . با بکار گیری منحنی Hilbert ، ما می‌توانیم هر پیکسل را به یک مختصات یک بعدی تبدیل نمائیم . ثانیا با از یک r  صحیح استفاده نمودیم که فاصله داخلی از یک نقطه به نقطه دیگر با پیمودن منحنی می‌باشد تا مقدار پیکسل مجدد محاسبه شود اگر فاصله در منحنی Hilbert بین بین پیکسل‌های H (xh , yh)  و i(x,y)  ، مضرب صحیحی از r  باشد آنگاه مقدار H (xh , yh)   در فاصله حقیقی بین H , I  ضرب می‌شود و به مقدار i(x,y)  اضافه می‌شود معدلات به شرح زیر می‌باشد :

که

از طریق روند فوق ما به یک کلید با حساسیت بالا بدست می‌آوریم چنانچه ما یک مقدار مناسب از بازه r  را بر روی منحنی Hilbert انتخاب کنیم ، سرعت رمزگذاری میتواند سریع باشد .

 

 

 

3-    شبیه سازی و تحلیل

به منظور امکان سنجی آزمایش ، آزمایش‌های متعددی بر روی تصاویر مختلف انجام می‌شود در مجموع چهار آزمایش صورت می‌گیرد هر یک از تصاویر مقایسه میشود .

ما تصاویر فلفل‌ها و بوزینه را انتخاب می‌کنیم همان طور که در شکل 1و2 نشان داده شده است . همگی آنها دارای ابعاد یکسان (256 × 256)  می‌باشند . ما دو مجموعه M  متفاوت را به عنوان کلید انتخاب میکنیم . که در شکل 3 و 4 نشان داده شده است . پارامتر‌های مجموعه M  در جدول 1 ارائه شده است . برای نشان دادن نقش r  ، مقادیر  PSNR  در چهار آزمایش با r  مختلف مورد محاسبه قرار میگیرد .

 

شکل 1. فلفل                                               شکل 2. بوزینه

 

جدول 1. پارامترهای مجموعه M  برای دو کلید

 

 

شکل 3. کلید 1                                                   شکل 4. کلید 2

 

عنوان مقادیر PSNR در آزمایشات در شکل 5و6 نشان داده شده است. محدوده فاصله بازه r[1,65025]  می‌باشد . علاوه بر این ما آزمایشات یکسانی را با متد پیشنهادی توسط Rozouvan   [6]  انجام دادیم . نمودار‌های PSNR در شکل 7و8 ارائه شده است. محدوده r  [0,254]   می‌باشد . با توجه به شکل‌ها متوجه خواهیم شد که مقادیر PSNR به سرعت بالا میرود چنانچه r  بزرگتر از یک مقدار بحرانی باشد در آزمایشات انجام شده توسط متد Rozouvan    ، مقدار بحرانی 150 می‌باشد . در آزمایشات انجام شده توسط ما متد بحرانی 40000  می‌باشد . از این رو مقدار بازه r  در متد ما می‌تواند در محدوده وسیعتری از متد Rozouvan    انتخاب شود .

 

 

 

 

 

 

شکل5. مقادیر PSNR برای تصاویر رمزگذاری شده با استفاده از کلید 1 توسط متد ما

 

 

شکل 6. مقادیر PSNR برای تصاویر رمزگذاری شده با استفاده از کلید 2 توسط متد ما

شکل 7. مقادیر PSNR برای تصاویر رمزگذاری شده با استفاده از کلید 1 توسط متد [6] .

 

شکل 8. مقادیر PSNR برای تصاویر رمزگذاری شده با استفاده از کلید 2 توسط متد [6] .

 

جدول 2 پایین ترین مقادیر PSNR و r  متناظر آن را ارائه می‌دهد L بیانگر پایین ترین مقدار PSNR توسط متد‌ها می‌باشد و L’  توسط متد Rozouvan     است. جدول 2 ، نشان می‌دهد که متد ما دارای تاثیر رمزگذاری بهتر نسبت به متد Rozouvan     می‌باشد .

 

جدول 2. حداقل مقادیر برای هر آزمایش PSNR

 

شبیه سازی‌ها بر روی سیستم نویسنده اجرا شده یک بازه زمانی در آزمایش مورد استفاده قرار گرفت تا زمان آغاز و پایان رمزگذاری را اندازه گیری نماید. در نتایج تجربی ما ، روند رمزگذاری و رمزگشایی می‌تواند زمان واقعی باشد ( با ارائه یک r  بزرگتر از 3000 و تصویر 256 ×256 ) . در سیستم نویسنده کل روند (رمزگذاری و رمزگشایی) در حدود 42/1 ثانیه زمان می‌برد . از این رو متد ما می‌تواند در کد گذاری ویدئو زمان واقعی مورد استفاده قرار بگیرد . در نهایت ما آزمایش را بر رو ی رمزگشایی با کلید غلط انجام می‌دهیم . کلید غلط در جدول 3 نشان داده شده است . همانطور که از جدول 3 قابل رویت است هنگامی‌که پارامتر Xcenter    ، 7- 10   بزرگتر از پارامتر صحیص است ، تصاویر اصلی نمی‌تواند رمزگشایی شود مقایسه بین یک تصویر رمزگشایی صحیح و تصویر اصلی یک MSE با مقدار صفر را ارائه می‌دهد ( که دلالت بر یک مقدار PSNR نا محدود دارد ).

 

4-    نتیجه گیری

در این مقاله ،الگوریتمی‌که از کلید فرکتال استفاده می‌کند مورد بحث قرار گرفت نتایج تجربی نشان می‌دهد که با ترکیب تبدیل Hilbert  با کلید مجموعه M  جنبه‌های مربوط را در مقایسه با متد Rozouvan  بهبود می‌دهند. متد ما رمزگذاری کارآمد تری را ارائه می‌دهد. مقدار بازه r   می‌تواند در یک محدوده بزرگتر انتخاب شود علاوه بر این متد ما دارای کلید حساس تری می‌باشد (7- 10 ) . چنانچه یک بازه مناسب از منحنی Hilbert   انتخاب شود ، الگوریتم می‌تواند زمان واقعی باشد . در این مقاله مجموعه M  به عنوان کلید انتخاب می‌شود . اما ما می‌توانیم هر مجموعه فرکتالی را برای رمزگذاری تصویر انتخاب کنیم . در کار آینده می‌توانیم تاثیر محدوده پارامترهای مجموعه M را به صورت دقیق بررسی کنیم.

 

 
 
image-processing-matlab-download-train
 

پیام بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

11 − two =