تولباکس برازش منحنی (curve fitting) در نرم افزار متلب MATLAB یک ابزار آماده برای برازش منحنی و سطوح داده می باشد. شما در این جعبه ابزار می توانید آنالیز داده، پیش پردازش و پس پردازش داده ، مقایسه مدلهای کاندید و حذف outlier انجام دهید.
شما در این جعبه ابزار می توانید آنالیز رگرسیون با استفاده از مدلهای آماده خطی و غیرخطی انجام دهید یا خودتان مدل دلخواه خود را بسازید.
در این جعبه ابزار شما می توانید از حل کننده های (solver) بهینه شده برای بهبود کیفیت برازش (fit) استفاده کنید. این جعبه ابزار همچنین شامل تکنیک های مدلسازی غیرپارامتری مانند درونیابی و هموارسازی و splines هم می باشد.
بعد از ساخت مدل شما می توانید روشهای پس پردازش مختلفی را بر روی مدل خود اعمال کنید.

.
به طور خلاصه تولباکس برازش منحنی در متلب دارای ویژگیهای زیر است :

• برازش منحنی برای منحنی و سطوح
• رگرسیون خطی و غیرخطی با معادله های سفارشی
• کتابخانه ای از مدلهای رگرسیون با نقاط شروع و پارامترهای حل کننده بهینه شده
• روشهای درونیابی شامل B-spline و spline صفحه ای و spline tensor-product
• تکنیک های هموار سازی شامل spline هموارکننده و رگرسیون متمرکز و فیلترهای Savitzky-Golay و میانگین های متحرک
• روشهای پیش پردازش شامل حذف outlier و بخش بندی و تغییر مقیاس و وزن دهی داده ها
• روشهای پس پردازش شامل درونیابی و برونیابی و بازه های اطمینان (confidence ) انتگرال و مشتق

لینک دانلود

پیش نمایش 1 :

.

لینک دانلود (کیفیت بالا)

پیش نمایش 2 :

.

لینک دانلود (کیفیت بالا)

پیش نمایش 3 :

.

لینک دانلود (کیفیت بالا)

پیش نمایش 4 :

.

لینک دانلود (کیفیت بالا)

پیش نمایش 5 :

.

لینک دانلود (کیفیت بالا)

نوشته فیلم آموزش فارسی جعبه ابزار برازش منحنی در متلب اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

برای حل معادله گرما در زمان t و در فضای تک بعدی از دستور pdepe استفاده می کنیم.

فرم کلی معادله سھمی وار متلب بصورت زیر می باشد  .

و ھمین طور فرم کلی شرایط مرزی بصورت زیر می باشد.

که x_l نمایانگر نقطه ابتدا و x_r نمایانگر نقطه انتهایی شرایط مرزی می باشد.توجه کنید که b دارای مقدار ثابت در هر دو معادله است.هر کدام از معادله های بالا را در m.file جداگانه قرار می دهیم.مقادیر s,b,c را از مقایسه معادله حاکم در مثال با فرم کلی معادله سهمیگون در متلب بدست اورده و در m.file قرار می دهیم.مقادیر p,q را نیز از مقایسه شرایط مرزی مسئله با فرم کلی شرایط مرزی تعریف شده برای متلب بدست می اوریم.و در اخر نیز شرایط کرانه ای را در m.file سوم قرار می دهیم.سپس به کمک دستور pdepe سه m.file را ترکیب کرده معادله را حل می کنیم.

:Example

معادله  اصلی بصورت:

شرایط مرزی بصورت:

و شرایط اولیه بصورت:

کاملا مشخص است که مقدار c=1 می باشد.همچنین ما در طرف راست معادله حاکم بر مسئله مشتق دوم بر حسب x را داریم.پس مقدار b باید برابر u_x باشد.مقدار s نیز که به وضوح مشخص است که برابر 0 می باشد. ملاحضه کردید که مقادیر c,b,s طوری در معادله سهمیگون مقدار دهی شدند که به معادله حاکم بر مسئله برسیم.مقدار m نیز باید برابر 0 باشد تا عملا x از معادله حذف شود. m را در اخر مقدار دهی میکنیم.

کد زیر نمایانگر معادله اصلی و در eqn1.m ذخیره می کنیم.

function [c,b,s] = eqn1(x,t,u,DuDx)

%EQN1: MATLAB function M-file that specifies

%a PDE in time and one space dimension.

c = 1;

b = DuDx;

s = 0;

برای شرایط مرزی نیز مطابق معادله اصلی عمل می کنیم. برنامه نویسان شرایط مرزی را بگونه ای به فرم بالا در اورده اند تا برای تمامی معادلات عمومیت داشته باشد.ما با تعیین ضرایب بگونه ای عمل می کنیم تا فرم کلی شرایط مرزی تبدیل به شرایط مرزی مثال شود.

به شرایط ابتدایی دقت کنید.مقدار q برابر 0 است تا b حذف شود.در متیجه p برابر با u می شود.

و برای شرایط انتهایی نیز به همین صورت, q برابر صفر و مقدار p برابر با u-1 است.حالا نتایج رو در فایل bc1 ذخیره می کنیم.

function [pl,ql,pr,qr] = bc1(xl,ul,xr,ur,t)

%BC1: MATLAB function M-file that specifies boundary conditions

%for a PDE in time and one space dimension.

pl = ul;

ql = 0;

pr = ur-1;

qr = 0;

و همینطور شرط اولیه را در initial1.m ذخیره می کنیم.

function value = initial1(x)

%INITIAL1: MATLAB function M-
le that speci
es the initial condition

%for a PDE in time and one space dimension.

value = 2*x/(1+x^2);

و حالا نوبت به حل مساله به کمک دستور pdepe رسیده است.مساله را در زمان 10ثانیه نخست و طول واحد(مثلا یک لوله به طول واحد) حل می کنیم.

%PDE1: MATLAB script M-file that solves and plots

%solutions to the PDE stored in eqn1.m

m = 0;

% NOTE: m=0 specifies no symmetry in the problem. Taking

% m=1 specifies cylindrical symmetry, while m=2 specifies

% spherical symmetry.

%

% Define the solution mesh

x = linspace(0,1,20);

t = linspace(0,10,10);

%Solve the PDE

u = pdepe(m,@eqn1,@initial1,@bc1,x,t);

% Plot solution

figure(1)

surf(x,t,u);

title(‘Surface plot of solution’);

xlabel(‘Distance x’);

ylabel(‘Time t’);

figure(2)

for i=1:length(t)

   plot(x,u(i,:))

   hold on

end

جواب u بصورت یک ماتریس به اندازه t و x ذخیره شده است.برای مثال (u(1,5 مقدار دما در نقطه((t(1),x(5)

مشخص می کند.

ما می تونیم به کمک دستور((:,plot(x,u(1 بردار دما را در اغاز (t=0) رسم می کنیم.

مثال بعدی :

وکد زیر رو برای مساله به این صورت می نویسیم:

function [c,f,s] = eqn2(x,t,u,DuDx)

c = pi^2;

f = DuDx;

s = 0;

function [pl,ql,pr,qr] = bc2(xl,ul,xr,ur,t)

pl = ul;

ql = 0;

pr = pi * exp(-t);

qr = 1;

function u0 = initial2(x)

u0 = sin(pi*x);

و از دستور pdepe استفاده می کنیم:

m = 0;

x = linspace(0,1,20);

t = linspace(0,5,20);

u = pdepe(m,@eqn3,@initial3,@bc3,x,t);

figure(1)

surf(x,t,u);

title(‘Surface plot of solution’);

xlabel(‘Distance x’);

ylabel(‘Time t’);

figure(2)

plot(x,u(2,:))

title(‘Solution at t = 2’)

xlabel(‘Distance x’)

ylabel(‘u(x,2)’)

% Creat animation

figure(3)

fig = plot(x,u(1,:),’erase’,’xor’);

for k=1:length(t)

 set(fig,’xdata’,x,’ydata’,u(k,:),’color’,’r’)

 pause(0.1)

end

دریافت کتابچه حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات پاره اي با MATLAB

نوشته اموزش متلب_pdepe(حل عددی معادله حرارت پاره ای وابسته به زمان) اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

همان طور که می دونید برای حل معادلات PDE  ما نیاز داریم که ناحیه ای را مشخص کنیم تا معادله ما در این ناحیه حل شود. به عنوان مثال می خواهیم تغییرات گرما در یک ناحیه مستطیلی را بدست بیاوریم. می بایست ابتدا یک مستطیل تعریف کنیم یا بکشیم و سپس آنرا مش بندی کنیم.

در مرحله اول دستور pdetool را در پنجره فرمان بزنید :

با این کار پنجره محیط pdetool باز می شود و شما می توانید ناحیه های دلخواه خود را رسم کنید.

یک راه دیگر رسم نواحی دلخواه استفاده از دستورات متلب می باشد.

pderect([-0.5 1 -0.5 1],’R1′)

 یک مستطیل می کشد که گوشه چپ پایین آن در مختصات -0.5 و -0.5 قرار دارد و گوشه بالای سمت راشت در 1 و 1 قرار دارد. بر چسب آن را R1 می گذارد.

pderect([-0.2 0.8 -0.2 0.8],’R2′) 

یک مستطیل می کشد که گوشه چپ پایین آن در مختصات -0.2 و -0.2 قرار دارد و گوشه بالای سمت راست در 0.8 و 0.8 قرار دارد. بر چسب آن را R2 می گذارد.

pdecirc(0.3,0.3,0.4,’C1′)

 یک دایره به مرکز 0.3 و 0.3 می کشد که اندازه شعاع آن 0.4 است.

بعد از مشخص کردن ناحیه ها، می توانیم یک ناحیه را از دیگری کم کنیم و بین آنها را بگیریم.

برای انجام این رابطه ها از نوار ابزار set formula استفاده کنید و فرمول مورد نظرتون را وارد کنید.

مثلا در اینجا ما وارد می کنیم :

R1-R2+C1-C2

در مرحله بعد باید مش بندی کنیم برای این کار از منو Mesh

Initialize mesh را انتخاب می کنیم :

با دستور بالا مش بندی مثلثی انجام می شود.

شما می توانید این مش بندی را تغییر دهید. مش بندی مثلثی پیش فرض نوع مش بندی در pdetool در متلب می باشد.

همانطور که در شکل بالا می بینید مثلث های مش تقریبا بزرگ هستند. برای کوچک تر کردن مش و دقت حل معادله، می توانید از منو mesh

refine mesh را انتخاب کنید. که مثلث ها را بر چهار تقسیم می کند.

پست قبلی ما در مورد حل معادلات مشتق جزیی در متلب را نیز ببینید.

https://matlab1.ir/?p=1369

نوشته حل معادلات PDE با pdetool متلب اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

در متلب matlab هر چند جمله ای بصورت یک ماتریس سطری تعریف می شود که آرایه های آن ضرایب چند جمله ای می باشد.به عنوان مثال ماتریس زیر معادل چند جمله ای  ۳X^4+X^2+4X-2 می باشد.

     [۲- A=[3 0 1 4

به این نکته دقت داشته باشید که تعریف ماتریس به معنای تعریف چند جمله ای نیست بلکه از دستوراتی که بعد از تعریف ماتریس بر روی آن اعمال می کنیم ، Matlab  با آن ماتریس همانند یک چند جمله ای رفتار می کند.

نکات مهم در جبر چند جمله ای ها در matlab:

برای جمع و تفریق دو چند جمله ای می توانیم از + و – استفاده کنیم.(در صورت یکسان نبودن تعداد جملات باید برای جملات غایب، ضریب صفر در نظر بگیریم)

برای ضرب و تقسیم دو چند جمله ای در متلب از دستورات(conv (A,B و (deconv (A,B استفاده می کنیم. (نکته ی جالب در مورد این دستور : conv  از لغت convolution  گرفته شده است و همانطور که می دانید در نظریه ی سیگنال و سیستم این واژه به معنی اپراتوری است که یک سیگنال را روی تمام زمان ها در پاسخ ضربه ی سیستم ضرب کرده و پس از شیفت دادن هر پاسخ به مقدار متناظر ورودی ، کل مقادیر را روی تمام زمان ها جمع کرده یا انتگرال می گیرد و در واقع نماد کانوولوشن که یک علامت ” * ” می باشد به معنای یک علامت × و یک علامت + می باشد که روی هم قرار گرفته اند.از طرفی می دانید که ضرب دو چند جمله ای نیز به معنای ضرب کردن تک تک جملات در یکدیگر و در نهایت جمع کردن آن هاست که ارتباط ظریفی بین مفهوم کانوولوشن و این قضیه وجود دارد ، کمی روی این مسئله فکر کنید )

برای محاسبه ریشه های یک چند جمله ای به کمک نرم افزار متلب از دستور (roots(A استفاده می کنیم.

برای به دست آوردن یک چند جمله ای از روی ریشه های آن از دستور (poly(A استفاده میکنیم. (با استفاده از این دستور، عملی عکس دستور roots انجام می گیرد.)

با استفاده از دستور help polyfum میتوان لیست دستورات چند جمله ای را مشاهده نمود.

حل دستگاه های معادلات جبری به کمک نرم افزار متلب :

دستگاه زیر را در نظر بگیرید :

  ۷x-3y+4z=-11

-3x+6y-2z=3

  ۴x-2y+2z=25

میتوان این دستگاه را با دو ماتریس ضرایب مجهول (به عنوان ماتریس A) و ماتریس طرف معلوم (به عنوان ماتریس B) تعریف کرد.در این صورت داریم :

A=[7 -3 4; -3 6 -2;4 -2 2]

B=[-11;3;25]

حال با تقسیم ماتریس A  به ماتریس B جواب های z , y , x  به ترتیب ۱ و۲ و۳ میشود.

H=A\B

 =H

    ۱

۲

۳

روش دیگر به دست آوردن جواب این است که معکوس ماتریس ضرایب را در طرف معلوم ضرب کنیم.در این صورت داریم :

H=inv(A)*B

 =H

1

2

3

نوشته جبر چند جمله ای ها در نرم افزار متلب اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

در اين بخش از يادداشت فقط بر نحوه برنامه نويسي و اجراي برنامه هـا تـاكيد شـده اسـت و نتـايج اجراي برنامه هاي مورد بحث نشان داده نشده اند.  به خواننده توصيه مي گردد كه خود برنامه ها را اجرا كرده و نتايج آنها را مشاهده نمايد.

برنامه اصلي

m-file ها مي توانند به دو شكل برنامه اصلي و تابع باشند.  برنامه اصلي عبارتست از مجموعـه اي از دستورها كه مي توان آنها را بطور جداگانه در محيط كار MATLAB اجرا نمود.  هنگــامي كـه نـام برنامه اصلي را در محيط كار MATLAB  بنويسيد اين دستورها به ترتيــب اجـرا مـي گردنـد.  بـه عنوان مثال براي محاسبه حجم گاز كامل، در دماهاي مختلف و فشــار معلـوم، دسـتورات زيـر را در ويرايشگر MATLAB بنويسيد و سپس تحت عنوان pvt.m ذخيره كنيد :

% A sample scritp file: pvt.m

disp(‘ Calculating the volume of an ideal gas.’)

R = 8314; % Gas constant (J/kmol.K)

t =   input(‘ Vector of temperature (K) = ‘);

p = input(‘ Pressure (bar) = ‘)*1e5;

v = R*t/p;   % Ideal gas law

% Plotting the results

plot(t,v)

xlabel(‘T (K)’)

ylabel(‘V (m^3/kmol)’)

title(‘Ideal gas volume vs temperature’)

علامت % نشانگر وجـود توضيحات در بـرنامه است.  علامت % و آنچه بدنبـــال آن در همـان ســطر مي آيد به هنگام اجراي برنامه ناديده گرفته مي شود.  همچنيــن علامـت . . . بيـانگر آن اسـت كـه دستور مورد نظر در اين سطر تمام نشده و در سطر بعدي ادامه مي يابد.  مورد استفاده اين علامــت بيشتر در مورد دستورهاي محاسباتي طولاني است كه براي مطالعه راحت تر ايــن قسـمت از برنامـه بهتر است در دو يا سه خط نوشته شود.

پس از ايجاد پرونده pvt.m، براي اجراي آن كافي اس ت كـه نـام آن را در محيـط كـار MATLAB بنويسيد و نتايج را مشاهده كنيد

استفاده از diary براي ايجاد برنامه

يك روش ايجاد برنامه براي مبتديان بكار بردن دستور diary است.  در صورت استفاده از دستور زير

» diary xyz

تمامي نوشته هاي محيط كار MATLAB پس از آن در پرونده xyz حك مي گردنــد.  پرونـده xyz بدون دنباله خواهد بود مگر آنكه خودتان براي آن دنباله مشخص كنيد.  در اين حــالت مـي توانيـد شروع به نوشتن دستورات مورد نظر در محيط كار MATLAB كنيد، نتايج را همان جا ببينيد و در صورت لزوم تصحيحات لازم را انجام دهيد.  هنگامي كه به پايان محاسبات و نتيجه دلخواه رسيديد، پرونده xyz را به كمك دستور زير ببنديد:

» diary off

اکنون مي توانيد پرونده xyz را باز كرده، خطوط و دستورهاي اضافي را از آن پاك كنيد و سپس بــا دنباله .m آن را ذخيره نمائيد.  به اين ترتيب يك m-file ايجاد كرده اي د كـه بـه نتـايج اجـراي آن اطمينان داريد.

تابع

علاوه بر توابعي كه همراه MATLAB هستند، شما مي توانيد توابعي را كه محاسبات مورد نيازتــان را انجام بدهد نيز ايجاد كنيد.  يك تابع يك يا چنـد داده را در ورودي دريـافت مـي كنـد و پـس از انجام محاسبات لازم نتايج را در قالب يك يا چند متغير خروجي به شما برمي گرداند.  خط اول يك تابع كه خط تعريف تابع نيز ناميده مي شود بايد از ترتيب زير پيروي نمايد:

–      function كلمه

–     نام متغير يا متغيرهاي خروجي.  در صورت وجود بيش از يك متغــير خروجـي بـايد آنـها را در كروشه گذاشته و با ويرگول از هم جدا كنيد.

–     علامت =

–     نام تابع.  پرونده اي كه تابع در آن ذخيره مي گردد بايد داراي همين نام با دنباله .m باشد.

–     آرگومان يا آرگومانهاي ورودي (كه با ويرگول از هم جدا شده باشند) در داخل پرانتز.

براي مثال تابع زير، كه بـايد در پرونـده ideal.m ذخـيره گـردد، حجـم گـاز كـامل را در فشـارها و دماهاي مختلف محاسبه مي نمايد:

function v = ideal(t,p)

% ideal: Calculation of ideal gas specific volume

% v=ideal(t,p) takes the vector of temperature (t) in K

% and the vector of pressure (p) in Pa and returns the % matrix of specific volume (v) in m3/kmol.

% Start of calculations

R = 8314; % Gas constant (J/kmol.K)

for k = 1:length(p)   

    v(k,:) = R*t/p(k); % Ideal gas law

end

حال اين تابع را مي توانيد در محيط كار MATLAB، در يك برنامه اصلي و يا در تابع ديگري بكــار ببريد.  مثلا”

» p=1:10; t=300:10:400;

» vol=ideal(t,p);

» surf(t,p,vol)

» view(135,45), colorbar

توصيه مي شود در توابعي كه مي نويسيد، پس از خط تعريف تابع، كار تابع و نحــوه بكـاربردن آن را در چند خط توضيح دهيد.  خطوط توضيح پيوسته اي كه در ابتداي تــابع مـي آينـد را مـي توانيـد همانند ديگر توابع و دستورهاي موجود در MATLAB با استفاده از دستور help مرور كنيد.

كنترل جريان محاسبات

MATLAB داراي چندين تركيب كنترل جريان محاسبات است كه به برنامه امكان مي دهد كه در حين اجرا تصميمات لازم را اتخاذ كرده و ترتيب اجراي دستورات را كنترل كند.  ايــن دسـتورها در زير شرح داده مي شوند.

if . . . (else . . .) end– دستور if برنامه را قادر مي سازد كه تصميم بگيرد كه چه دستورهايي بايد اجرا گردند.  مثال:

x = input(‘ x = ‘);

if x >= 0   

     y=x^2

end

عبارتي كه به دنبال كلمه if مي آيد بايد يك عبارت منطقي باشــد.  در صـورت درسـت بـودن ايـنعبارت منطقي، دستورهايي كه در سطرهاي بين if و end قرار دارند بترتيب اجــرا مـي گردنـد و در صورت نادرست بودن اين عبارت منطقي، دستورهاي گفته شده ناديده گرفته مي شوند.

شما همچنين مي توانيد از دستور else استفاده كنيد.  مثال:

x = input(‘ x = ‘);

if x >= 0   

   y=x^2

else   

   y=-x^2

end

در اين حـالت اگر عبارت منطقي مورد نظر درست باشد، مجموعه دسـتورهاي بيـن if و else اجــرا مي گردند و در غير اين صورت دستورهاي بين else و end قابل اجرا مي باشند.

for . . . end– دستور for به برنامه اجازه مي دهد كه دستورهاي درج شــده بيـن for و end را بـه دفعات معيني تكرار نمايد.  مثال:

k = 0;

for x = 0:0.2:1   

     k = k + 1   

     y = exp(-x)

end

while . . . end– در مواردي كه لازم باشد كه در حين اجراي برنامه مجموعه اي از دستورات تكرار گردند ولي تعداد دفعات تكرار معلوم نباشد بلكه اين عمليات تا ارضا شدن شرط يــا شـروط معينـي ادامه يابند، مي توان از دستور while استفاده نمود.  مثال:

x = 0;

while x < 1   

    y = sin(x)   

    x = x + 0.1;

end

همانند آنچه در مورد دستور if گفته شد، عبارتي كه به دنبال كلمه while مي آيد بايد يك عبــارت منطقي باشد كه در واقع همان شرط مورد نظر است.  در صورت صادق بودن ايــن عبـارت منطقـي، دستورهايي كه در سطرهاي بين while و end قرار دارند بترتيب اجرا مي گردند تا آنجايي كه شرط مورد نظر ديگر برقرار نباشد.

switch . . . case . . . (otherwise . . .) end – وقتي كه لازم باشــد كـه برنامـه بـر حسـب مقـاديرمختلف يك متغيـر، متناظرا” دستورهاي متفـاوتي را اجـرا كنـد، بكـار بـردن تركيـب switch-case راحت تر از بكار بردن چندين دستور if متداخل است.  مثال:

a = input(‘a =’);

switch a

case 1   

    disp(‘One’)

case 2   

    disp(‘Two’)

case 3   

    disp(‘Three’)

end

break و pause – دو دستور مفيد ديگر كه در برنامه نويسي مي توانند مــورد اسـتفاده قـرار گـيرند عبارتند از break و pause.  شما مي توانيد در صورت لزوم قبل از كامل شدن حلقه به كمك دستور break از آن خارج شويد.  هنگامي كه برنامه در حين اجرا به دستور pause برسد متوقف مــي مـاند تا اينكه شما كليدي را روي صفحه كليد فشار دهيد و سپس اجراي برنامه از دســتور بعـد از pause ادامه مي يابد.  مثال:

k = 0;

for x = 0:0.2:1   

    if k > 5      

       disp(‘k > 5’)      

       break   

    end   

    k = k + 1;   

    y = exp(-x);   

    disp([‘ k = ‘,num2str(k),’  y = ‘,num2str(y)])

    pause

end

در مثال فوق، برنامه هر بار پس از نشان دادن مقادير k و y متوقف مي ماند تــا اينكـه كليـدي روي صفحه كليد فشرده شود.  سپس حلقه for بار ديگر تكرار مي گردد و اين عمل آنقدر ادامه مي يــابد تا اينكه مقدار k از ٥ بيشتر شود.  در اين موقع دستور break باعث خروج برنامه از حلقــه for (و در اين مثال پايان اجراي برنامه) مي شود.

نوشته برنامه نويسي (m-files) در متلب اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

٤-١    مقايسه منطقي

در MATLAB علامتهاي زير براي مقايسه مقادير عددي و حرفي بكار مي روند.

كوچكتر از              <

كوچكتر از يا مساوي با     =<                                                                                                       بزرگتر از      >

بزرگتر از يا مساوي با        =>                               مساوي با     ==                                            مخالف با      =~

چنين مقايسه اي را مي توان بين دو اسكالر، دو آرايه يا اسكالر و اعضاي آرايه انجــام داد.  مثالـهايي براي نحوه عمل اين عملگرها در زيـر آورده مـي شوند.  توجـــه كنيـد كـه حــاصل همـه عمليـات منطقـي مي تواند ٠ به معني نادرست يا ١ به معني درست باشد .

» 3<5

ans =

     1

» [1 2]>=[0 3]

ans =

1        0

» a=[1 2 3

2        3 4];

» b=[-1 2 1

0          2 4];

» a~=b

ans =

1          0     1

     1     1     0

بردار زير را در نظر بگيريد:

» x=[1  2  -1  0  -5  4  -1.5  3  2.5  -.5];

عبارت زير مولفه هاي مثبت اين بردار را نمايش مي دهد:

» x(x>0)

ans =     1.0000    2.0000    4.0000    3.0000    2.5000

و اين عبارت تعداد مولفه هايي را كه بين صفر و ٣ هستند تعيين مي كند:

» length(x((x>=0)&(x<=3)))

ans =

     5

٤-٢   عملگرهاي منطقي

روابط منطقي را مي توان با استفاده از عملگرهاي منطقي با هم تركيب كرد.  اين عملگرها عبــارتند از:

و (تركيب عطفي)                                               &

يا (تركيب فصلي)                                                |

يا (مانع جمع)xor

نقيض                                                                ~

مثالهايي از طرز عمل اين عملگرها در زير آورده شده اند:

» m=[1  2  4;  -2  3  -1];

» ~(m>0) ans =

0          0     0

1          0     1

» (m>0)|(m<=2)

ans =

     1     1     1

     1     1     1

» (m>0)&(m<=2)

ans =

     1     1     0

     0     0     0

» xor([0 0 1 1],[0 1 0 1])

ans =

     0     1     1     0

توجه كنيد كه xor يك تابع است و دو بردار ورودي به آن بايد هم اندازه باشند.

٤-٣  توابع منطقي all ،any و find

تابع any معين مي كند كه آيا مولفه غير صفر در يك بردار وجود دارد يا خير.

» v=[-2  1  3  5];

» any(v<1) ans =

     1

» any(v>6) ans =

     0

تابع all معين مي كند كه آيا همه مقايسه ها درست هستند يا خير.

» all(v<1) ans =

     0

» all(v<6) ans =

     1

توابع فوق را مي توانيد براي ماتريسها نيز بكار ببريد.  در اين صورت خروجي اين توابع عبارت اســت از حاصل مقايسه هاي گفته شده براي هر ستون ماتريس.

تابع find مكان مولفه هاي غير صفر را در يك آرايه نشان مي دهد.

» find(v>3)

ans =

     4

٤-٤   اعداد ويژه

علاوه بر اعداد حقيقي، MATLAB قادر است حاصل عباراتي را كه از نظر جبري انجام پذير نيستند را نيز پوشش دهد.  تقسيم يك عدد بر صفر بــي نـهايت (Inf) و تقسـيم صفـر بـر صفـر غـير قـابل

.(Not a Number ياNaN) محاسبه است

» x=[1  2  0]./[2  0  0] Warning: Divide by zero.

x =     0.5000       Inf       NaN

همچنين اعداد موهومي را به سادگي اعداد حقيقي مي توانيد در محاسبات استفاده كنيد.

» y=sqrt(-1)

y =         0 + 1.0000i

توابع isnan ،isinf ،finite و isreal به شما امكان مي دهد كه اين اعداد را شناسايي كنيد:

» finite(x) ans =

     1     0     0

» isinf(x) ans =

     0     1     0

» isnan(x) ans =

     0     0     1

» isreal(x) ans =

     1

» isreal(y) ans =

     0

نوشته عمليات و توابع منطقي در متلب matlab اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

اگر مقدار يك متغير را بخواهيد بدانيد مي توانيد آن را با نوشتن نام متغير مشـاهده كنيـد.  در ايـن صورت MATLAB نام متغير و به دنبال آن علامت تساوي را نشان داده و سپس مقدار را در ســطر يا سطور بعد مي نويسد.  براي ديدن مقدار متغير بــدون آنكـه لازم باشـد دوبـاره نـام آن و علامـت تساوي را مشاهده كنيد مي توانيد دستور disp را بكار ببريد.

» x=[2 4 5];

» disp(x)

     2     4     5

» y=’That is better’;

» disp(y)

That is better

پنجره MATLAB را مي توانيد با دستور clc پاك كنيد:

» clc

همانطور كه قبلا” ديديد دستور format compact باعث مي شود ك ه خطـوط اضـافي هنگـام ارائـه نتايـج حذف گردنـد.  دستور format داراي كاربردهاي فراوان ديگري نيز هست.  فــرض كنيـد كـه مي خواهيد مولفه هاي بردار زير را روي صفحه نمايش ببينيد :

» v=exp(-10*(1:5))

v =   1.0e-004 *

    0.4540    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

واضح است كه در حالت فعلي نمي توانيد مقادير مولفه ها را بخوانيد.  در اين وضعيت مي توانيــد بـا كمك دستور format نحوه نمايش اعداد را تغيير دهيد:

» format long

» v v =   1.0e-004 *   Columns 1 through 4

   0.45399929762485   0.00002061153622   0.00000000093576   0.00000000000004

  Column 5

   0.00000000000000

مشاهده مي كنيد با وجود اينـكه اين دستـور تعداد اعداد نشـان داده شده بعــد از ممـيز را افزايـش مي دهد ولي هنوز قادر نيست كه همه مولفه هاي بردار مورد نظر را بطور مناسبي نمايش ده د.  در چنين حالتي بهتر است اعداد را با استفاده از نماد علمي به نمايش بگذاريد:

» format short e

» v v =   4.5400e-005  2.0612e-009  9.3576e-014  4.2484e-018  1.9287e-022

براي اطلاع بيشتر از امكانات دستور format توصيه مي شود كه توضيحات مربوط به اي ن دستـور را در help مطالعه كنيد.

نوشته نظيم خروجيها روي صفحه نمايش با دستورات disp و format در متلب matlab اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

در MATLAB مي توان دو نوع عمليات روي آرايه ها انجــام داد كـه بـه آنـها عمليـات ماتريسـي و عمليات عضو به عضو مي گويند.  عمليات ماتريسي شامل محاسبه ترانهاده، ضرب ماتريسي، جمـع و تفريق آرايـه هاي هم اندازه و غيره مي شود.  ترانهاده يك ماتـريـس با كمك علامـت پريـم بدسـت مي آيد:

» r=rand(2,4)

r =     0.9501    0.6068    0.8913    0.4565

    0.2311    0.4860    0.7621    0.0185

» r’ ans =     0.9501    0.2311

    0.6068    0.4860

    0.8913    0.7621

    0.4565    0.0185

ضرب ماتريسي با استفاده از علامت * و جمع و تفريق ماتريسها بـا اسـتفاده از علامتـهاي مربوطـه انجام مي گيرند:

» v=[1:4];

» r*v’ ans =     6.6636

    3.5634

» s=[0:3; 2:-.5:.5];

» s+r ans =     0.9501    1.6068    2.8913    3.4565

    2.2311    1.9860    1.7621    0.5185

٢-٤   عمليات عضو به عضو روي آرايه ها

انجام عمليات جبري روي آرايه ها در MATLAB نيازمند دقت است.  بطور كلــي دو نـوع عمليـات مي توان روي آرايه ها انجام داد: ١-عمليات عضو به عضــو، ٢-عمليـات بـرداري-ماتريسـي.  اشـتباه گرفتن اين دو نوع عمليات باعث بروز مشكل در محاسبات مي گردد.  دو بردار زير را در نظر بگيريد:

» a=[1 2 3];

» b=[2 -1 0];

فرض كنيد كه مي خواهيد اين دو را در هم ضرب كنيد:

» a*b

??? Error using ==> *

Inner matrix dimensions must agree.

دليل گرفتن پيام خطا از عمل فوق اين است كه در MATLAB استفاده از علامت ضرب به تنـهايي به معناي ضرب ماتريسي است.  بنابراين عمل بالا را مي توان با ترانهاده بردار دوم به انجام رسانيد:

» a*b’

ans =

     0

اين عمل در حقيقت ضرب اسكالر دو ماتريس است، يعني:  ٠=٠*٣+(١-)*٢+٢*١

حال اگر بخواهيد ضرب عضو به عضو اين دو بردار را به دست آوريد بايد يك نقطــه قبـل از علامـت ضرب بگذاريد:

» a.*b

ans =

     2    -2     0

همين دستورالعمل را مي توان براي تقسيم و به توان رساندن آرايه ها بكار بست:

» a.^2 ans =

     1     4     9

در صورت فراموش كردن نقطه قبل از علامت توان:

» a^2

??? Error using ==> ^

Matrix must be square.

نوشته عمليات ماتريسي روي آرايه ها در متلب matlab اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

یکی از توابع پر کاربرد متلب برای برازش داده ، تابع  fit می باشد .

با این تابع شما می توانید توابع زیادی را تقریب بزنید که در زیر خلاصه ای از آنها را می بینید .

چند جمله ای

Polynomial Model Names and Equations

Examples of Polynomial Model Names for Curves           Equations

poly1                                                                                      Y = p1*x+p2

poly2                                                                                      Y = p1*x^2+p2*x+p3

poly3                                                                                      Y = p1*x^3+p2*x^2+…+p4

…etc., up to poly9                                                                 Y = p1*x^9+p2*x^8+…+p10

آموزش تول‌باکس کرو فیتینگ نرم‌‌افزار متلب

کرو فیتینگ (Curve Fitting) چیست؟

کروفیتینگ یا برازش منحنی، به عملی گفته می‌شود که با کمک آن می‌توان معادله‌های خطوط پیچیده را از مجموعه‌ای از نقاط عبور داد. این نقاط می‌توانند همان داده‌های آزمایشگاهی باشند. مثلاً شما تعدادی داده‌ی آزمایشگاهی دارید و می‌خواهید بهترین خط با معادله‌ی y=ax^2+Sin x را از این نقاط عبور دهید. معادله‌ی بدست آمده الزماً از داده‌های شما عبور نمی‌کند؛ این معادله بهترین معادله‌ای خواهد بود که به تمامی داده‌های شما نزدیک است. شما به کمک نرم‌افزار متلب (Matlab) می‌توانید این عمل را انجام دهید. در واقع، نرم‌افزار متلب به شما اجازه‌ی انتخاب هر نوع معادله‌ای را می‌دهد و شما با انتخاب نوع معادله و ورود داده‌ها به نرم‌افزار می‌توانید ضرایب معادله مورد نظر خود را بدست آورید. این معادلات می‌توانند چندپارامتری و یا چندمتغیره باشند. در ادامه‌ی مطلب به صورت تصویری، چگونگی برازش منحنی یا کرو فیتینگ ( Curve Fitting) در نرم‌افزار متلب را توضیح داده‌ام.

ابتدا در پنجره اجرای دستورات مطابق شکل تایپ کنید: cftool

اکنون پنجره مربوط به جعبه ابزار برازش منحنی (Curve Fitting Toolbox ) طبق عکس زیر، در محیط نرم‌افزار متلب باز می شود:

حال برای اجرای یک مثال ساده یا خود شما داده هایی را وارد نرم افزار متلب بکنید و یا هم دستور زیر را تایپ نمایید تا داده هایی از دیتا بیس نرم افزار متلب وارد محیط نرم‌افزار شود:

پس از اجرای دستور فوق در محیط نرم‌افزار با پنجره زیر مواجه خواهید شد:

ه شامل دو ماتریس می‌باشد.

حال از پنجره‌ی جعبه ابزار که قبلا باز کرده بودیم، روی data کلیک کنید تا مطابق شکل پنجره ای باز شود و گزینه های X , Y  را طبق شکل تنظیم کنید.

سپس بر روی  Create data set  کلیک کنید تا پنجره زیر ظاهر گردد:

روی View کلیک کنید.

اکنون روی close کلیک کنید.

حال به پنجره زیر بروید و روی Fitting کلیک کنید.

وقتی کلیک کردید پنجره زیر ظاهر می گردد:

وقتی شما چک باکس Immediate apply را علامت زدید و روی New Fit هم کلیک کرده باشید معادلات مختلف و ضرایبشان را مشاهده خواهید کرد و خطوط متناظر با این معادلات از مجموعه نقاط شما عبور خواهد کرد. در قسمت نتایج Result می‌توانید مقدار عددی رگرسیون نیز مشاهده کنید.

شما می توانید در یک شکل جند بار New Fit را بزنید و مطابق شکل چندین منحنی همزمان در یک صفحه از مجموعه نقاط شما عبور خواهد کرد.

برای اینکه بدانید  کدام یک از نقاط شما از سایر نقاط پرت است و به اصطلاح ممکن است بر اثر خطای آزمایش بوجود آمده باشد کارهای زیر را انجام دهید:

در تصویر بالا از منوی View  گزینه Residuals  و سپس Line Plot  را انتحاب کنید تا شکل زیر به پایین نمودار مطابق شکل اضافه شود:

این شکل نشان می دهد که نقاطی که نزدیک به ۱۹۴۰ هستند، ممکن است داده های پرت باشند و در صورت حذف این داده و داده سمت راست آن، منحنیِ بهتری و با دقت بیشتری خواهیم داشت که رگرسیون آن نیز به مراتب به واحد نزدیک‌تر خواهد بود.

تول باکس کروفیتینگ متلب امکانات گسترده‌ی دیگری نیز دارد. به عنوان مثال شما غیر از این ۳۵ معادله که می‌توانید داده‌های خود را روی آن‌ها فیت کنید، می‌توانید ترکیبی از این معادلات و یا هر معادله‌ی دل‌خواهی را از داده‌ها عبور دهید. اگر شما بخواهید که از امکانات این جعبه ابزار در وسط برنامه (m-file) استفاده کنید، شما باید از کدهایی که در هلپ نرم‌افزار توضیح داده شده، به کار ببرید. تول باکس کرو فیتینگ متلب قابلیت محاسبه‌ی مشتق عددی و یا انتگرال‌گیری از منحنی‌هایی که از داده‌های شما عبور می‌کند نیز دارد. هم‌چنین به کمک این جعبه‌ابزار می‌توانید معادلات چند متغیره و چند پارامتری را از داده‌هایتان عبور دهید.

نوشته آموزش جعبه ابزار برازش داده curve fitting در متلب matlab اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

مطلبی که امروز آماده شده است، مربوط به آموزش ساده سیمولینک مدارات قدرت در نرم افزار MATLAB می باشد. این آموزش از دو بخش تشکیل شده است، که بخش اول آن مربوط به شبیه سازی یک مدار ساده در محیط سیمولینک نرم افزار متلب می باشد. و بخش دوم آن مربوط به تحلیل و تجزیه مدار در محیط سیمولینک نرم افزار متلب می باشد. در قسمت شبیه سازی یک مدار ساده قطعات سیستم قدرت به شما اجازه ساخت و شبیه سازی مدارات الکتریکی که شامل المان های خطی و غیرخطی هستند را می دهد. مطالبی که در بخش مربوط به شبیه سازی مدار ساده تو محیط سیمولینک بررسی می شود عبارتند از : کتابخانه قطعات سیستم قدرت (powerlib) را بررسی خواهید کرد، یاد خواهید گرفت که چگونه یک مدار ساده از کتابخانه powerlib بسازید، و اینکه قطعات Simulink را به مدارتان وصل می نمایید.

لینک دانلود

نوشته آموزش ساده سیمولینک مدارات قدرت در نرم افزار MATLAB اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

X(n,m)

برای مقدار دهی درایه و یا تغییر مقدار آن:

Ex:

 Ones(3)

Ans=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Ans(1,3)=4

Ans=

1 1 4

1 1 1

1 1 1

برای اینکه یک قسمت از یک ماتریس را برداریم :

A(1:2,3:6)

یعنی سطر اول تا دوم و ستون سوم تا ششم

A(:)

همه ی عناصر را ستونی نشان می دهد .

برای حذف یک قسمت از ستون ها یا سطر ها آن ها را برای تهی قرار می دهیم :

A(1:3,4)=[]

اعداد تصادفی: rand

Rand بین صفر و یک است.

Rand(n,m)

یک ماتریس تصادفی n*m می دهد.

اگر مثلا بخواهیم اعداد تصادفی بین صفر تا نه باشند:

9*rand(n,m)

اگر بخواهیم اعشار نداشته باشد :

Round

مثلا:

Round(rand(5,9))

اگر بخواهیم اعداد تصادفی بین range دلخواه خودمان باشد ،

Min<rand<max

Min+(max-min)*rand

جایگشت های تصادفی اعداد: permutation

Randperm(n)

از یک تا n به صورت تصادفی جایگشت مینویسد:

Ex:
( randperm(13

Ans=

     1    12     9     6     3     5     8    10    13     2    11     7     4

اعداد تصادفی با توزیع نرمال:

randn(x)

ماتریس x*x میدهد که با توزیع نرمال همه ی اعداد در اطراف 1 هستند اعداد خیلی بزرگ یا خیلی کوچک ندارد.

اگر بخواهیم اعداد تصادفی با میانگین و واریانس دلخواه داشته باشیم:

M+s^2(randn(x))

که s^2 همان واریانس و m میانگین است.

Sum(a)

از ماترس a از هر ستون جمع میگیرد.

Sum(a(:))

جمع همه ی درایه ها

Prod(a) از هر ستون همه ی درایه ها را ضرب می کند.

ضرب همه ی درایه ها:

prod(a(:))

اگر بخواهیم از هر سطری بگیرد و جمع  یا ضرب کند، از A’ استفاده میکنیم.

Sqrt جذر میگیرد.

Nth امین ریشه ی x را میگیرد.

root(x,n)  n

نوشته آدرس دهی ماتریس در متلب matlab اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

چکیده :

در این مقاله الگوریتمی که از بهینه سازی ازدحام ذرات برای جستجوی چهره در تصویر استفاده می کند پیشنهاد شده است. این الگوریتم از ماشین برداری پشتیبان ( SVM ) خطی به عنوان یک طبقه بندی سریع و دقیق به منظور جستجوی چهره در فضای دو بعدی استفاده می کند. با استفاده از الگوریتم PSO ، جستجوی کامل در تمام ترکیبات ممکن از مختصات دوبعدی مسئله اجتناب می شود و همین امر باعث صرفه جویی در زمان و کاهش محاسبات پیچیده خواهد شد. علاوه براین ، SVM های خطی اثبات کرده اند که برای رفع مشکلات حاصل از طبقه بندی بخصوص در برنامه های کاربردی بسیار موثر اند.نتایج بدست آمده از آزمایش براساس شرایط ثبت تصویر واقعی از پایگاه داده ی BioID است و این امید را می دهد که می توان از الگوریتم پیشنهادی برای کاربرد های واقعی استفاده کرد.

اصل مقاله

http://poseidon.csd.auth.gr/papers/PUBLISHED/CONFERENCE/pdf/Marami10a.pdf

دانلود ترجمه

face detection[matlab1.ir]

نوشته تشخیص چهره با استفاده از PSO & SVM اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

برازش داده ها

معمولا پدیده های انتقال ( انتفال جرم و حرارت و مکانیک سیالات ) پیچیده تر از آن هستند که روابط حاکم بر آنها از طریق تئوری بدست آوریم؛ و از طریق آزمایش و ایجاد داده های تجربی، روابطی برای آنها بدست می آید.معمولا بعد از هر آژمایش نیاز به اختصاص دادن یک فرمول به داده های ایجاد شده است.استفاده از نرم افزار Excel ساده ترین راه این کار است اما در محیط مطلب نیز این کار قابل انجام است.

کار دستور fit برازش منحنی برای داده های موجود است .

fresult = fit(xdata,ydata,’ltype’)

آرگومان ltype مربوط به نوع مدلی است که برای برازش انتخاب می کنیم.منظور خطی، درجه دوم، درجه سوم، سینوسی و …… می باشد.حتی می توانید مدل خاص خودتان را تعریف کنید.

فرض کنید که

x=[1.1000 2.2000 2.9000 3.8000 5.0000]‘;

y=[ 0.9000 2.1000 3.0000 4.0000 5.0000]‘;

یادتون باشه که x,y حتما باید ستونی باشند.

حالا باید نوع برازش را مشخص کنیم.تعدادی از مدلهای موجود در سطور زیر آورده شده اند.

poly1                           Y = p1*x+p2
poly2                           Y = p1*x^2+p2*x+p3
poly3                           Y = p1*x^3+p2*x^2+…+p4
…
poly9                           Y = p1*x^9+p2*x^8+…+p10

برای دیدن لست کامل مدل های موجود کافی است دستور cflibhelp را اجرا کنید.

دستور fit امکانات بسیار زیادی دارد که اگر وقت کنم بطور کامل توضیح خواهم داد.

fit1=fit(x,y,’poly1′)

با اجرای این دستور خروجی زیر حاصل می شود.

fit1 =

Linear model Poly1:
fit1(x) = p1*x + p2
Coefficients (with 95% confidence bounds):
p1 = 1.069 (0.92, 1.217)
p2 = -0.2056 (-0.6934, 0.2822)

خروجی این دستور به صورت structure است.یعنی اگر بخواهیم مقدار p1 را بدانیم کافی است بنویسیم

fit1.p1

نوشته برازش داده ها در متلب اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

a=sqrt(sym(2))

f = sym(‘x^2 + x + 1′)

ezplot(f)

دستور dsolve از این جعبه ابزار برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.

dsolve(‘Dy=x’)

ans =

x*t+C1

حتما می دانید که عملگر D هم ارز با dy / dx است و هدف ازدستور بالا یافتن جواب معادله dy/dx=x ؟!

متغیر پیش فرض این دستور t است بنابراین x در دستور بالا به صورت یک ثابت عمل می کند.

dsolve(‘Dy=x’,’x’)

ans =

1/2*x^2+C1

پس هنگامی که متغیر مستقل معادله، t نباشد حتما باید ذکر شود.

در بسیاری از موارد جواب خصوصی معادله مورد نیاز است؛ فرض کنید بخواهیم معادله D2y=x را حل کنیم بطوریکه

y(1)=3

y(2)=5

برای اینکار از این حالت دستور dsolve استفاده می کنیم

dsolve(‘D2y=x’,’y(1)=3,y(2)=5′, ‘x’)

شکل کلی استفاده از این دستور  یکی از اشکال زیر است که با هم معادل هستند

r = dsolve(‘eq1,eq2,…’, ‘cond1,cond2,…’, ‘v’)
r = dsolve(‘eq1′,’eq2′,…,’cond1′,’cond2′,…,’v’)

منظور از v متغیر مستقل، cond شرط اولیه و eq معادله دفرانسیل مورد نظر است.

فزض کنید بخواهیم دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنیم(متغیر مستقل را t فرض کنید).

Dx = y

Dy=-x

به این صورت عمل می کنیم

r=dsolve(‘Dx = y’, ‘Dy = -x’)

نوشته حل معادلات دیفرانسیل معمولی با متلب اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

سیمولینک بسته ای نرم افزاری برای مدل سازی ، شبیه سازی ، تجزیه و تحلیل سیستم های دینامیکی در نرم افزار متلب (MATLAB) می باشد .
موارد استفاده از سیمیولینک عمومی هستند و مانند بسیاری دیگر از نرم‌افزارهای شبیه سازی مهندسی، منحصر به کاربردهای خاصی نیست. که این مورد مزایا و معایب متفاوتی را برای سیمیولینک ایجاد می‌کند .

آموزش جامع سیمولینک Simulink

سیمیولینک را نمی‌توان جداگانه اجرا کرد. برای اجرای آن باید در ابتدا متلب را اجرا کرد و سپس در آن با تایپ دستور simulink برنامه اجرا می‌شود. می‌توان متغیرها را در متلب تعریف کرده و از آن‌ها در سیمیولینک استفاده کرد .
کتاب پیش رو در 605 صفحه به زبان انگلیسی به آموزش این بسته نرم افزاری می پردازد . مهمترین فصول این کتاب عبارتند از :

• Getting Started
• Creating a Model
• Running a Simulation
• Analyzing Simulation Results
• Block Reference
• Model Construction Commands
• Simulink Debugger

لینک دانلود

نوشته دانلود کتاب آموزش سیمولینک در MATLAB اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

مقدمه: در تاريع آمده است كه اولين بار يك رياضيدان انگليسي تبار به نام كيلي ماتريس را در رياضيات وارد كرد. با توجه به آنكه در آن زمان رياضيدانان اغلب به دنبال مسائل كاربردي بودند، كسي توجهي به آن نكرد. اما بعدها رياضيدانان دنباله ي كار را گرفتند تا به امروز رسيد كه بدون اغراق مي توان گفت در هر علمي به گونه اي با ماتريس ها سروكار دارند. يكي از نقش هاي اصلي ماتريس ها آن است كه آنها ابزار اساسي محاسبات عملي رياضيات امروز هستند، درست همان نقشي كه سابقاً اعداد بر عهده داشتند. از اين نظر مي توان گفت نقش امروز ماتريس ها همانند نقش ديروز اعداد است. البته، ماتريس ها به معنايي اعداد و بردارها را در بر دارند، بنابراين مي توان آنها را تعميمي از اعداد و بردارها در نظر گرفت. در رياضيات كاربردي ماتريس ها از ابزار روز مره هستند، زيرا ماتريس ها با حل دستگاه معادلات خطي ارتباط تنگاتنگي دارند و براي حل رياضي مسائل عملي، مناسبترين تكنيك، فرمول بندي مسئله و يا تقريب زدن جوابهاي مسئله با دستگاه معادلات خطي است كه در نتيجه ماتريس ها وارد كار مي شوند. اما، مشكلي اصلي در رياضيات كابردي اين است كه ماتريس هاي ايجاد شده، بسيار بزرگ هستند و مسئله اصلي در آنجا كار كردن با ماتريس هاي بزرگ است. از جنبه نظري، فيزيك امروزي كه فيزيك كوانتوم است، بدون ماتريس ها نمي توانست به وجود آيد. هايزنبرگ – اولين كسي كه در فيزيك مفاهيم ماتريس ها را به كار برد- اعلام كرد «تنها ابزار رياضي كه من در مكانيك كوانتوم به آن احتياج دارم ماتريس است.» بسياري از جبرها مانند جبر اعداد مختلط و جبر بردارها را با ماتريس ها بسيار ساده مي توان بيان كرد. بنابراين با مطالعه ماتريسها، در واقع يكي از مفيدترين و در عين حال جالبترين مباحث رياضي مورد بررسي قرار مي گيرد.

تعريف ماتريس: اگر بخواهيم مانند كيلي، ماتريس را تعريف كنيم، بايد گفت هر جدول مستطيلي كه داراي تعداد سطر و ستون است و در هر خانه آن يك عدد وجود دارد يك ماتريس است. به عبارت ديگر هر آرايشي از اعداد مانند مثالهاي زير را ماتريس مي گويند.

اگر ماتـريس      را A بناميـم، در اين صورت ماتـريس ] 15و10 و 1-[ را سطـر اول و ] 19و7 و5[ را سطر دوم و ،     ، را به ترتيب ستون اول، ستون دوم، ستون سوم A گويند. ماتريس A را كه داراي دو سطر و ستون است يك ماتريس دو در سه (2و3) مي گويند. اصطلاحاً مي گوييم A از مرتبه 2 در 3 است. (نوشته مي شود 3×2). بنابراين ماتريس ] 7و5 و12[B= يك ماتريس 4×1 و ماتريس C يك ماتريس 3×3 است.

به اعداد يا اشياء واقع در جدول ماتريس درايه هاي آن ماتريس مي گويند. درايه هاي هر ماتريس در جا ومكان مشخصي قرار دارند. مثلاً در ماتريس         درايه 3 در سطر اول و ستون اول است. همچنين درايه سطر دوم، ستون سوم عدد 6 است. به طور كلي اگر درايه هاي سطر I ام ستون jام را با a_ij نشان دهيم؛ داريم

… و 5=₁₂a   2=₂₂a           3=₁₁a

به طور كلي يك ماتريس دلخواه 3×2 را بصورت زير نمايش مي دهيم:

اغلب براي سهولت، به جاي نمايش ماتريس به صورت فوق، آن را با نماد 3*2[a_ij]نشان مي دهند كه در آن a_ij را درايه يا عنصر عمومي ماتريس 3*2[a_ij] گويند. به طور كلي براي ساختن انواعي از ماتريس هاي ديگر مي توانيم به جاي آن كه درايه هاي ماتريس را از اعداد حقيقي انتخاب كنيم، درايه ها را از اعداد مختلط عناصر يك ميدان، توابع و ياحتي ماتريس ها انتخاب كنيم.

در حالت كلي يك ماتريس m*n بصورت A=[a_ij]_m*n عبارت است از:

ماتريس هاي مربع: اگر در يك ماتريس تعداد سطرها و ستون ها مساوي باشد، آن را ماتريس مربع گويند. در اين حالت اگر يك ماتريس مانند A داراي مرتبه ي n*n باشد، گوييم A يك ماتريس مربع مرتبه n است. مجموعه ماتريس هاي مربع مرتبه ي n را با       يا نشان مي دهند.

درايه هاي ₁₁a و ₂₂a و… و a_nx يك ماتريس مربع مرتبه n باشد، مجموع درايه هاي قطر اصلي A را اثر ماتريس A مي نامند و با نماد tr(A) نشان مي دهند. بنابراين:

در واقع اثر ماتريس، تابعي از مجموعه ماتريسهاي مربع در مجموعه اعداد حقيقي است، يعني

مثال: اگر                درايه هاي قطر اصلي A عبارتند از 4- و 6- بنابراين

2=6+4-tr(A)

ماتريس سطري: ماتريس هايي را كه فقط يك سطر دارند ماتريس سطري يا بردار سطري مي نامند. مثلاً ماتريس ي ماتريس سطري *n1 است.

ماتريس ستوني: ماتريسي است كه فقط داراي يك ستون باشد. هر ماتريس ستوني را بردار ستوني نيز مي گويند. مثلاً ماتريس زير يك ماتريس ستوني 1×m است.

ماتريس صفر: ماتريسي است كه همه درايه هايش صفر باشد. بنابراين ماتريس   ماتريس صفر است. هرگاه:

ماتريس صفر از مرتبه m*n را با نماد Q_m*n نشان مي دهند.

مثال:

اگر مرتبه ماتريس صفر، داده شده باشد و يا از طريق متن، مرتبه آن معلوم باشد، در اينصورت براي سهولت ماتريس صفر را با و يا حتي با O نشان مي دهند.

تساوي ماتريس ها: هرگاه در رياضيات اشيا جديدي معرفي شوند، بايد مشخص شوند كه چه وقت دوتاي آنها با هم مساويند. مثلاً در مجموعه اعداد گويا دو عدد دو سوم و چهار ششم را، عليرغم اينكه يك شكل نيستند، مساوي مي نامند. در مورد اعدادگ ويا، دو عدد                 را مساوي مي گويند. هر گاه ad=bc تساوي ماتريسها نيز به صورت زير تعريف مي شود.

تعريف: دو ماتريس و        مساويند هرگاه هم مرتبه باشند و درايه هاي نظير در دو ماتريس (يعني درايه هاي هم موضع) مساوي باشند. به عبارت ديگر، دو ماتريس    و        مساويند هر گاه داشته باشيم:

مثال:            و        تساوي A و B به اين معناست كه

جمع ماتريس ها: مجموع دو ماتريس      و        ماتريسي است كه با نماد A+B نشان مي دهيم و به صورت زير تعريفق مي شود.

توجه كنيد كه براي جمع دو ماتريس مي بايست دو ماتريس هم مرتبه باشند. بنا به تعريف اگر A+B+C=[C_ij] در اينصورت

براي اين كه تعريف فوق روشن تر شود، شكل گسترده آن را در حالت ماتريس هاي 2×2 در زير مي آوريم

تذكر: با توجه به تعريف، جمع دو ماتريس A+B وقتي تعريف شده كه A و B هم مرتبه باشند. در اين صورت A و B را ماتريس هاي قابل جمع مي گويند.

تعبير عمل جمع دو ماتريس به مثابه يك ماشين: عمل جمع را مي توان به منزله ماشيني تصور كرد كه داراي دو ورودي و يك خروجي است (مطابق شكل)، به طوري كه اگر دوماتريس مثلا2×2 به آن بدهيم از خروجي آن يك ماتريس 2×2 بيرون مي ايد.

قرينه يك ماتريس: اگر A يك ماتريس m*n باشد، قرينه A ماتريسي است از همان مرتبه كه با نماد –A نشان مي دهند و اگر   در اين صورت بنا به تعريف

مثال: قرينه ماتريس عبارت است از        و ملاحظه مي شود كه

خواص جمع ماتريس ها

الف) جمع ماتريسها خاصيت شركت پذيري دراد

اثبات: فرض كنيد     و        و        سه ماتريس هم مرتبه دلخواه باشند، نشان مي دهيم

(A+B)+C=A+(B+C)

قبل از اثبات لازم است معني عبارات (A+B)+C و A+(B+C) را بدانيم. در اين مورد از تعبير عمل جمع به مثابه عمل يك ماشين كمك مي گيريم. از آنجا كه ماشين جمع دو ورودي دارد نمي توان يكباره سه ماتريس را با هم جمع كرد، از اين رو براي جمع سه   ماتريس A و B و C مي توان ابتدا A و B را به ماشين داده و A+B را به دست آورد. سپس A+B و C را به ماشين مي دهيم تا (A+B)+Cبه دست آيد.

عبارت A+(B+C) به اين معناست كه نخست B و C را وارد ماشين كرده ايم و B+C را به دست آورده ايم و سپس (B+C)+A را بيرون مي دهد.

حال مي خواهيم نشان دهيم كه در هر صورت ماتريس هاي بدست آمده مساويند براي اين كار قرار مي دهيم

درايه سطر I ام ماتريس =D+C درايه سطر I ام ستون j ام ماتريس (A+B)+C

ب) ماتريس صفر عضو بي اثر مجموعه ماتريس ها نسبت به عمل جمع است.

اثبات: فرض كنيد     يك ماتريس دلخواه باشد، نشان مي دهيم.

كه در آن ماتريس صفر هم مرتبه با A است.

اثبات مشابه اثبات فوق است.

ج) هر ماتريس نسبت به عمل جمع داراي متقابل است.

ديديم كه قريبنه هر ماتريس A=[a_ij]، ماتريسي هم مرتبه با آن به صورت –A[-a_ij] است. در واقع –A متقابل A نسبت به عمل جمع است، زيرا قبلاً نشان داديم

كه در آن ماتريس صفر هم مرتبه با A است.

د) جمع ماتريس ها داراي خاصيت جابه جايي است.

يعني اگر A و B دو ماتريس دلخواه هم مرتبه باشند، داريم    A+B=B+A

اثبات:

تعريف ماتريس ها: فرض كنيد A و B دو ماتريس هم مرتبه باشند، A-B به صورت زير تعريف مي شود

A-B=A+(-B)

از تعريف فوق نتيجه مي گيريم براي اينكه با ماشين جمع، A-B را به دست آوريم، نخست ماشيني با يك ورودي و يك خروجي مي سازيم تا هر ماتريسي به آن دهيم آن ماتريس را قرينه كند. حال با دادن ماتريس B به اين ماشين، -B از آن خارج مي شود.

سپس، A و –B را به ماشين جمع مي دهيم تا A+(-B) يعني A-B را بيرون دهد.

مقايسه خواص جمع ماتريس ها با خواص جمع اعداد حقيقي:

اگر به خواص ماتريس ها توجه كنيم ملاحظه مي كنيم كه اين خواص همانند خواص جمع اعداد حقيقي است، حال مي خواهيم ببينيم كداميكي از خواص ديگر مجموعه اعداد حقيقي با عمل جمع در مجموعة ماتريس ها با عمل جمع برقرار است. مي دانيم براي حل معادله a+x=b در مجموعه اعداد حقيقي بايد به طريقي a را از طرف اول معادله حذف كرد. بنابراين، طرفين معادله را با –a جمع مي كنيم، در اينصورت:

(-a)+ (a+x)=-a+b

با استفاده از خاصيت جابجايي و شركت پذيري جمع داريم:

(-a+a) +x=b-a)

در نتيجه +x=b-a0 يعني x=b-a0 اين شيوه را مي توان براي حل معادله A+X=B در مجموعه ي ماتريس ها نيز به كار برد و گزاره زير را به دست آورد.

گزاره: اگر A و B دو ماتريس هم مرتبه باشند، در اين صورت معادله A+X=B داراي جواب منحصر به فرد X=A-B است.

يكي ديگر از خواص مجموعه اعداد حقيق با عمل جمع، قانون حذف است. يعني اگر a+x=a+y در اين صورت مي توان نتيجه گرفت x=y اين خاصيت نيز در مورد ماتريس ها با عمل جمع وجود دارد.

قانون حذف در جمع ماتريس ها برقرار است

اثبات: روش اول، فرض كنيد A و B و C سه ماتريس هم مرتبه باشند، نشان مي دهيم

A+B=A+Cà B=C

طرفين تساوي A+B=A+C را با –A جمع مي كنيم با توجه با خاصيت شركت پذيري و خاصيت ماتريس صفر نتيجه مي شود B=C

روش دوم: چون A+B=A+C پس

درايه iام ستون jام =A+C درايه سطر iام ستون jام A+B

تذكر: براي اثبات قانون حرف دو روش مختلف ارائه داديم. در روش اول، از خواص جمع ماتريسها يعني شركت پذيري، عضو بي اثر و… استفاده كرديم، يعني همان روشي كه براي اعداد حقيقي مي توان به كار برد. اما در روش دوم ويژگي هاي ماتريس نقش اصلي را ايفا مي كند. در واقع در مورد روش اول براي ما مهم نيست A و B و C ماتريس هستند يا عدد حقيقي و يا هر چيز ديگر، در مورد هر دسته اي از اشيا كه داراي خواص جمع ماتريس ها باشند، مي توانيم اين شيوه را به كار ببريم و اين همان رسالت جبر مدرن است كه با اصل موضوعي كردن، قضاياي مشابه را به يكباره ثابت مي كند. زيرا شيوه و روش اثبات قضيه در هر جايي كه اين اصول صدق مي كنند، معتبر است.

ضرب يك عدد (اسكالر) در ماتريس

تعريف: فرض كنيد   ماتريسي از مرتبه m*n و r يك عدد حقيقي باشد. از ضرب عدد حقيقي r در A ماتريسي به دست مي آيد كه آن را به صورت rA نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي شود.

بنابراين (درايه سطر iام ستون jام ماتريس =r.(A درايه سطر iام ستون j ام ماتريس (rA)

مثال: اگر      در اين صورت

خواص ضرب عدد در ماتريس:

1)فرض كنيد r و s دو عدد حقيقي و A يك ماتريس m*n باشد در اين صورت داريم

r(sA)=(rs)A

2)اگر r و s دو عدد حقيقي و A يك ماتريس m*n باشد در اين صورت داريم

(r+s)A=rA+sA

3)اگر r يك عدد حقيقي و A و B دو ماتريس m*nباشند در اين صورت

r(A+B)=rA+rB

4)اگر r يك عدد حقيقي ناصفر و A وB دو ماتريس دلخواه m*n باشند در اين صورت

rA=rBà A=B

ضرب ماتريس ها و خواص آن

ضرب ماتريس سطري در ماتريس ستوني

تعريف: ماتريس سطري              و ماتريس ستوني

را در نظر مي گيريم حاصل ضرب A در B به صورت زير تعريف مي شود.

با توجه به تعريف فوق حاصل ضرب يك ماتريس سطري در ماتريس ستوني يك عدد حقيقي است كه براي به دست آوردن آن به صورت زير عمل مي كنيم.

مثال:

ضرب ماتريس ها در حالت كلي:

تعريف: اگر             و        دو ماتريس مخصوص باشند در اين صورت حاصل ضرب AB ماتريسي است m*p كه اگر آن را با C نشان دهيم داريم

ملاحظاتي در مورد ضرب دو ماتريس

1-ضرب ماتريسي AB در صورتي تعريف شده است كه تعداد ستون هاي ماتريس اولي، يعني A با تعداد سطرهاي ماتريس دومي، يعني B، برابر باشد. در اين صورت گويند ماتريس A در ماتريس B قابل ضرب است.

2-اگر AB=C براي به دست آوردن هر يك از درايه هاي ماتريس C به نمحلي كه درايه واقع است توجه مي كنيم. مثلاً براي بدست آوردن ₁₂C سطر اول A را در ستون دوم B، طبق ضرب يك ماتريس سطري در ماتريس ستوني ضرب مي كنيم، و به همين ترتيب

ستون پنجم ماتريس B× سطر سوم ماتريس A = ₃₅C

اگر ₁R و ₂R و ₃R به ترتيب نمايشگر سطر اول و سطر دوم و سوم ماتريس _2×3A و ₁C و ₂C و ₃C نمايشگر ستون اول ، دوم و سوم ماتريس _3×2B باشند. در اين صورت AB ماتريسي 2×2 به صورت زير است.

كه در آن، براي مثال، ₂C₁R حاصل ضرب سطر اول A در ستون دوم B را نشان مي دهد.

ماتريس واحد (هماني)

ماتريس واحد، ماتريس مربعي است كه تمام درايه هاي قطر اصلي آن 1 و ساير درايه هاي صفر است.براي مثال ماتريس واحد 2×2 كه با نماد ₂I نمايش مي دهيم به عبارت است از

به همين ترتيب ماتريس واحد 3×3 عبارت است از

تذكر: ماتريس I را از اينرو، واحد گويند كه رفتاري شبيه عدد 1 در ضرب اعداد دارد و چون روي هر ماتريسي (قابل ضرب با آن) اثر كند همان ماتريس را مي دهد بنابراين آن را ماتريس هماني نيز مي گويند.

گزاره: اگر در ماتريس A سطر دوم صفر باشد و B ماتريسي باشد كه AB تعريف شده باشد، در اين صورت سطر دوم AB نيز صفر است.

اثبات: قرار مي دهيم AB=C درايه هاي سطر دوم AB از ضرب سطر دوم A در ستون هاي B به دست مي آيد. فرض كنيد C_ijدرايه دلخواهي از سطر دوم AB باشد، بنابراين

به طور كلي، اگر در ماتريس A سطر iام صفر باشد در اين صورت سطر I ام ماتريس AB صفر است. به طريق مشابه مي توان ثابت كرد.

گزاره: اگر در ماتريس B ستون jام صفر باشد و A ماتريسي باشد كه AB تعريف شده باشد، در اين صورت ستون jام ماتريس AB صفر است.

بررسي خاصيت جابه جايي در ضرب ماتريسها:

دو ماتريس A و B مفروضند. AB وقتي تعريف شده است كه تعداد ستونهاي A با تعداد سطرهاي B مساوي باشد. مثلاً داشته باشيم   و        اگر m و p مساوي نباشد، BA تعريف نشده است. براي اينكه BA تعريف شده باشد لازم است كه p=m، يعني B ماتريس n*m باشد. در اينصورت AB از مرتبه m*m و BA ماتريسي است از مرتبه n*m. حال اگر بخواهيم AB و BA هر دو موجود و هم مرتبه باشند مي بايست A و B هر دو ماتريس هاي مربع و هم مرتبه باشند. اما در اين حالت نيز ممكن است BA و AB مساوي نباشد. به مثال زير توجه كنيد.

مثال: اگر                          در اينصورت

ملاحظه مي شود كه AB و BA مساوي نيستند. مثال فوق بيانگر آن است كه ضرب ماتريس ها داراي خاصيت جابه جايي نيست. حال به مثال زير توجه كنيد.

مثال: اگر                در اين صورت

يعني AB=BA

ماتريس هاي تعويض پذير:

تعريف: اگر A و B دو ماتريس مربع باشند به طوري كه AB=BA در اين صورت A و B را تعويض پذير گوييم و يا گوييم A و B با يكديگر جابجا مي شوند.

مثال: دو ماتريس     و        تعويض پذيرند. زيرا

يك خاصيت غير منتظره در ماتريسها:

مي دانيم كه مجموعه اعداد حقيقي داراي اين خاصيت است كه : «حاصلضرب دو عدد حقيقي ناصفر، عددي حقيقي ناصفر است.»

اما در مورد ماتريسها چنين نيست. به مثال زير توجه كنيد. دو ماتريس غير صفر را در نظر بگيريد. داريم:

ملاحظه مي شود كه ماتريس هايي مانند A و B وجود دارند به طوري كه    و        ولي اين نوع ماتريس ها را مقسوم عليه صفر مي گويند.

تعريف: فرض كنيد A يك ماتريس مربع باشد. اگر ماتريس ناصفري مانند B بتوان يافت به طوري           يا در اين صورت A را مقسوم عليه صفر گويند.

مثال: ماتريس         مقسوم عليه صفر است زيرا

توانهاي طبيعي يك ماتريس مربع:

فرض كنيد A يك ماتريس m*n باشد. براي آنكه AA وجود داشته باشد مي بايست m=n ، يعني در صورتي AA تعريف شده است كه A ماتريسي مربع باشد. در اين صورت AA را با ²A نمايش مي دهند.

تعريف: اگر A يك ماتريس مربع باشد، در اين صورت توان هاي طبيعي A به صورت زير تعريف مي شوند

=A¹A و =AA²A و ²=AA³A وبا استقرا

Aⁿ⁺¹ = AAⁿ

در صورتي كه A يك ماتريس مربع مرتبه n باشد توان صفر A نيز به صورت زير تعريف مي وشد.

كه در آن I_n ماتريس واحد مرتبه n است.

ماتريس هاي بالا مثلثي

ماتريس مربعي       را بال مثلثي مي نامند هرگاه

A_ij     I>j     à a_ij=0

يعني، در يك ماتريس بالا مثلثي كليه درايه هاي واقع در پايين قطر اصلي صفرند. براي مثال يك ماتريس بالا مثلثي 3×3 در حالت كلي به صورت زير است

اين ماتريس ها را به صورت زير نشان مي دهند

همانطور كه از نامگذاري اين نوع ماتريس ها معلوم است، در هر ماتريس بالا مثلثي، درايه هاي واقع بر قطر اصلي و بالاي قطر اولي مشخص كننده ماتريس هستند. زيرا تمام درايه هاي پايين قطر اصلي صفرند.

مثال: ماتريس مربع و صفر ماتريس واحد، بالا مثلث اند.

ماتريس هاي پايين مثلثي

ماتريس مربع A=[a_ij] را پايين مثلثي نامند هرگاه

يعني،  در يك ماتريس پايين مثلثي، همه درايه هاي واقع در بالاي قطر اصلي، صفرند.

مثال: ماتريس روبه رو يك ماتريس

پايين مثلثي 3×3 است. گاهي براي سهولت اين ماتريس را به صورت زير هم نشان مي دهند.

نماد O در بالاي قطر اصلي به معناي آن است كه تمام درايه هاي بالاي قطر اصلي صفرند. نامگذاري اين نوع ماتريس ها همانند قبل، بر اين اساس استوار است كه در ماتريس هاي پايين مثلثي درايه هاي واقع بر قطر اصلي ، مشخص كننده ماتريس هتسند.

مثال: ماتريس مربع صفر و ماتريس واحد پايين مثلثي نيز هستند.

ماتريس هاي قطري:

ماتريع مربع D=[d_ij] را قطري مي نامند، هر گاه هم بالا مثلثي و هم پايين مثلثي باشد، يعني در يك ماتريس قطري، درايه هاي پايين و بالاي قطر اصلي همگي صفرند، به عبارت ديگر، D قري است هرگاه

بنابراين، ماتريس قطري D به صورت زير نوشته مي شود.

براي سهولت اين ماتريس را به صورت زير هم نشان مي دهند.

همانطور كه از نام اين نوع ماتريس ها بر مي آيد، در يك ماتريس قطري فقط درايه هاي واقع بر قطر اصلي مشخص كننده ماتريس اند، براي همين ماتريس قطري را به صورت

d_iaj(d₁₁ , d₁₂ , d_nn)

نيز نشان مي دهند.

مثال: ماتريس         قطري است كه به صورت(2- و 3 و2) D=diag  نيز مي توانيم آن را بنويسيم.

ماتريس واحد (هماني)

ماتريس واحد، ماتريس اسكالري (آن دسته از ماتريس هاي قطري را كه همه درايه هاي واقع بر قطر اصلي آنها مساويند، ماتريس اسكالر نامند) است كه درايه هاي واقع بر قطر اصلي آن همگي مساوي 1 است. ماتريس واحد مرتبه n را با I_n نشان مي دهند.

مثال: ماتريس واحد 3×3 عبارت است از

وقتي مرتبه ماتريس واحد معلوم باشد و يا اهميت نداشته باشد، ماتريس واحد را با I نشان مي دهند و براي هر ماتريس مرتبه n مانند A داريم                 I_nA=AI_n=A

يعني، ماتريس واحد، عضو بي اثر مجموعه ماتريس هاي مربع نسبت به عمل ضرب است. براي همينن ماتريس واحد رفتاري شبيه عدد يك در ضرب اعداد دارد.

و به سادگي ديده مي شود كه براي هر عدد طبيعي K داريم:            I^K=I

مثال: هر ماتريس اسكالر مضربي از ماتريس واحد است. يعني؛

ماتريس هاي خود توان

ماتريس مربع A را خودتوان مي نامند هرگاه =A²A

مثال: ماتريس        خودتوان است زيرا؛

گزاره: اگر A خودتوان باشد، در اين صورت براي هر عدد طبيعي n، داريم:

Aⁿ=A

ماتريس هاي پوچ توان:

ماتريس مربع A را پوچ توان نامند هرگاه به ازاي يك عدد طبيعي، مانند n، داشته باشيم

بديهي است كه اگر   به ازاي هر عدد طبيعي بزرگتر از n مانند m داريم

كوچكترين اين n ها را انديس پوچ تواني A گويند.

زيرماتريس ها وافراز كردن

يك زير ماتريس يك ماتريس مفروض A ماتريسي است كه از حذف تعدادي از سطرها يا ستون هاي ماتريس A بدست آمده باشد، براي مثال اگر

در اين صورت هر يك از ماتريسهاي زير يك زير ماتريس A مي باشند.

زير ماتريس           از حذف سطرهاي اول و دوم و ستونهاي اول و سوم، و زير ماتريس ]4   3  2 [ از حذف سطرهاي دوم و سوم و چهارم و ستون اول به دست مي آيند.

هرگاه با ترسيم خطوط افقي و عمودي بين سطرها و ستونهاي يك ماتريس آن را تقسيم بندي كنيم، گوييم ماتريس را افراز كرده ايم. با تغيير اين خطوط افرازهاي متفاوتي از يك ماتريس ساخته مي شود. مثلاً

دو افراز مختلف از ماتريس A مي باشند.

وقتي ماتريس ها از ظرفيت حافظه كامپيوتر بزرگترند، از ماتريس هاي افراز شده استفاده فراوان مي كنند. مثلاً در ضرب دو ماتريس افراز شده، مي توان ماتريس ها را روي ديسك نگه داشت. و فقط زير ماتريس هايي را كه در تشكيل حاصل ضربهاي زير ماتريسي لازمند در حافظه آورد. معلوم است كه افراز بايد به قسمي صورت گيرد كه حاصل ضرب ماتريسهاي نظير قابل تعريف باشد.

فرض كنيد A و B ماتريسيهايي باشند كه AB تعريف شده باشد حال اگر A و B را به صورت

افزار كرده باشيم در اين صورت به آساني ثابت مي شودكه براي محاسبه ماتريس AB مي توان C و D و… را شبيه درايه ها تصور كرد و عمل ضرب را انجام داد، بنابراين

البته، اين مشروط به آن است كه افراز به گونه اي باشد كه حاصل ضرب هاي فوق تعريف شده باشد.

ترانهاده يك ماتريس

تعريف: فرض كنيد A يك ماتريس m*n باشد، ترانهاده A، ماتريسي است n*m كه سطر اول آن ماتريس A سطر دوم آن ستون دوم A و… به طور كلي، سطر iام ترانهاده A ستون iام ماتريس A مي باشد. ترانهاده A را با نمادها َA و A^t يا ^tA نمايش مي دهند.

مثال: فرض كنيد

در اين صورت ترانهاده A، يعني َA عبارت است از

ملاحظه مي شود كه درايه سطر اول ستون دوم ماتريس A مساوي 5 است، يعني 5=₁₂a از طرف ديگر اگر درايه هاي َA را با _ijَa نشان دهيم درايه سطر دوم ستون اول َA نيز مساوي 5 است.

يعني5=₁₂a بنابراين           ₁₂a= ₂₁َa

به طريق مشابه                 ₁₃a= ₃₁َa                 ₃₂a= ₂₃َa

در واقع اگر   در اين صورت ترانهاده A عبارت است از         كه در آن

a_ij=a_ij

بنابراين درايه سطر jام ستون iتك A= درايه سطر iام ستون jام َA

مثال: ترانهاده يك ماتريس بالا مثلثي ، يك ماتريس پايين مثلثي است و بر عكس.

مثال: ترانهاده ماتريس واحد مرتبه n خود ماتريس واحد مرتبه n است، يعني I=َI

ويژگي هاي ترانهاده

قضيه: اگر A يك ماتريس m*n باشد در اين صورت A=َ(َ(A

قضيه: اگر A و B دو ماتريس m*n باشند، در اين صورت َB +َA = َ((A+B

قضيه: اگر A يك ماتريس m*n و يك عدد حقيقي باشد، در اين صورت

ماتريس متقارن

تعريف: ماتريس مربع A را متقارن مي نامند، هرگاه A=َA

مثال: ماتريس         متقارن است

زيرا

از تساوي A=َA نتجيه مي شود             a_ij=_ijَa

و در نتيجه              a_ij=a_ji

 بنابراين در ماتريس هاي متقارن درايه هايي كه موضع آنها نسبت به قطر اصلي قرينه اند با هم مساويند.

مثال: هر ماتريس قطري متقارن استن در نتيجه ماتريسهاي اسكالر و ماتريس واحد و ماتريس صفر متقارن هستند.

قضيه: اگر A و B دو ماتريس متقارن هم مرتبه باشند، در اين صورت A+B نيز متقارن است.

اثبات: چون A و B متقارن است پس A=َA  و B=َB بنابراين

َB+َA = َ((A+B

قضيه: اگر A متقارن و يك عدد حقيقي باشد، در اين صورت نيز متقارن است

اثبات:

قضيه: اگر A و B  دو ماتريس متقارن و تعويض پذير باشند، در اين صورت AB نيز متقارن است.

اثبات:

دتريمنال يك ماتريس:

به هر ماتريس مربع، عددي نسبت داده مي شود كه دترمينال آن ماتريس ناميده مي شود. دترمينان يك ماتريس مانند مشتق يك تابع، اطلاعاتي در مورد آن ماتريس در اختيار مي گذارد. براي مثال با استفاده از دترمينان مي توان دريافت كه يك ماتريس وارون دارد يا خير؟ و اينكه در حل دستگاههاي n  معادله n مجهولي مي توان از دترمينان استفاده كرد.

دترمينان ماتريس هاي 1×1

فرض كنيد    يك ماتريس  باشد، دترمينان اين ماتريس كه با نماد det[a] نشان داده مي شود عبارت است از                  det[a]=a

دترمينان ماتريسهاي 2×2

ماتريس        را در نظر مي گيريم دترمينان A كه با هر يك از نمادهاي نشان مي دهند، به صورت زير تعريف مي شود.

مثال:

براي تعريف دترمينان يك ماتريس n*n لازم است قبل از آن مفاهيم كهاد و همسازه را بدانيم.

كهاد (مينور)

تعريف: فرض كنيد A=[a_ij] ماتريسي n*n باشد. ماتريسي را كه از حذف سطر iام ستون jام ماتريس A بدست مي آيد با M_ij نشان مي دهيم. دترمينان M_ij يعني را كهاد يا مينور a_ij مي نامند.

تعريف: فرض كنيد A=[a_ij] ماتريسي n*n باشد، همسازه      از زاويه a_ij به صورت زير تعريف مي شود.

تذكر: ^i+j(1-) در هر حالت مقادير 1 يا 1- را مي گيرد، در واقع

مثال: فرض كنيد

در اين صورت ماتريس حاصل از حذف سطر اول ستون دوم =A ₁₂M

تعريف دتريمنان ماتريس هاي n*n

تعريف: فرض كنيد A[a_ij] ماتريسي n*n باشد (n>2) در اين صورت دترمينان A به صورت زير تعريف مي شود.

با كمي دقت در فرمول بالا مشاهده مي شودكه در محاسبه دترمينان A فقط از درايه هاي سطر اول و كهاد آنها استفاده شده است. اين فرمول را در مورد هر سطر دلخواه ديگر هم مي توانيم بنويسيم. مثلاً فرمول بالا براي سطر iام به شكل زير است

ثابت مي شود كه مقدار بالا بستگي به iندارد و همان مقدار به دست مي آيد. فرمول بالا را بسط دترمينان نسبت به سطر iام مي نامند  و در محاسبه دترمينان نسبت به هر سطري كه بسط داده شود، حاصل همواره يكي است.

همچنين در فرمول بسط دترمينان به جاي استفاده از سطرهاي ماتريس مي توانيم از ستون هاي ماتريس استفاده كنيم و به فرمول زير كه بسط دترمينان نسبت به ستون jام نام دارد، برسيم.

در اين مورد نيز ثابت مي شودكه مقدار بالا بستگي به j ندارد و همان است.

مثال: مطلوب است محاسبه دترمينان A كه A به صورت زير است.

حل: دترمينان را نسبت به سطر اول بسط مي دهيم.

وارون يك ماتريس

براي حل معادلات به صورت ax=b در مجموعه اعداد حقيقي، بايد كاري كرد كه ضريب x برابر 1 شود. براي اين كار بايد طرفين را در وارون a يعني     ضرب كرد در نتيجه

البته، روشن است كه اين معادله را وقتي مي توان به اين صورت حل كرد كه نظير اين معادلات در ماتريس ها نيز مطرح است، يعني معادلات به صورت AX=C

كه در آن A و C ماتريسهاي مربع هستند، همانند اعداد راحت ترين كار براي حل اين نوع معادلات از ميان برداشتن A است، بعبارت ديگر طرفين معادله را مي بايست از سمت چپ در ماتريسي ضرب كنيم كه A را خنثي كند. منظور از خنثي كردن A آن است كه ماتريسي مانند B بدست آوريم به طوري كه BA=I در اين صورت B را وارون A و يا به عبارت دقيقتر وارون چپ A گويند.

تعريف: فرض كنيد A ماتريس n*n باشد. اگر ماتريسي مانند B وجود داشته باشد، به طوري كه در آن I ماتريس واحد مرتبه n است، ماتريس B را يك وارون A گويند. در اين صورت مي گويند A وارون پذير يا غير منفرد (ناتكين) است

مثال: نشان دهيد ماتريس وارون پذير است.

حل: با توجه به تعريف بايد ماتريسي 2×2 مانند B ارائه دهيم به طوري كه

AB=BA=I

براي اين كار فرض كنيد

بنابراين

از حل دستگاه فوق نتيجه مي شود كه

بنابراين

به سادگي مي توان ديد كه

بنابراين ماتريس     وارون است در نتيجه A وارون پذير است.

قضيه: وارون يك ماتريس در صورت وجود منحصر به فرد است.

اثبات: فرض كنيد A داراي دو وارون َA و ًA باشد، نشان مي دهيمَA = ًA

I ماتريس واحد است                   َIA=ًA

ًAA)َ=(A

(ً(AAَA=

IَA=

َA

قرارداد: اگر A يك ماتريس مربع وارون پذير باشد، در اين صورت وارون A را با ^1- A نشان مي دهند. بنابراين

A=I^1-A= ^1-AA

قضيه: فرض كنيد

و در اين صورت A وارون پذير است و

اثبات: در معادله صدق مي كند

يعني

پس A وارون پذير است، و همچنين

لینک دانلود اصل فایل

نوشته آشنايي با ماتريسها اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.