برای حل معادله گرما در زمان t و در فضای تک بعدی از دستور pdepe استفاده می کنیم.

فرم کلی معادله سھمی وار متلب بصورت زیر می باشد  .

و ھمین طور فرم کلی شرایط مرزی بصورت زیر می باشد.

که x_l نمایانگر نقطه ابتدا و x_r نمایانگر نقطه انتهایی شرایط مرزی می باشد.توجه کنید که b دارای مقدار ثابت در هر دو معادله است.هر کدام از معادله های بالا را در m.file جداگانه قرار می دهیم.مقادیر s,b,c را از مقایسه معادله حاکم در مثال با فرم کلی معادله سهمیگون در متلب بدست اورده و در m.file قرار می دهیم.مقادیر p,q را نیز از مقایسه شرایط مرزی مسئله با فرم کلی شرایط مرزی تعریف شده برای متلب بدست می اوریم.و در اخر نیز شرایط کرانه ای را در m.file سوم قرار می دهیم.سپس به کمک دستور pdepe سه m.file را ترکیب کرده معادله را حل می کنیم.

:Example

معادله  اصلی بصورت:

شرایط مرزی بصورت:

و شرایط اولیه بصورت:

کاملا مشخص است که مقدار c=1 می باشد.همچنین ما در طرف راست معادله حاکم بر مسئله مشتق دوم بر حسب x را داریم.پس مقدار b باید برابر u_x باشد.مقدار s نیز که به وضوح مشخص است که برابر 0 می باشد. ملاحضه کردید که مقادیر c,b,s طوری در معادله سهمیگون مقدار دهی شدند که به معادله حاکم بر مسئله برسیم.مقدار m نیز باید برابر 0 باشد تا عملا x از معادله حذف شود. m را در اخر مقدار دهی میکنیم.

کد زیر نمایانگر معادله اصلی و در eqn1.m ذخیره می کنیم.

function [c,b,s] = eqn1(x,t,u,DuDx)

%EQN1: MATLAB function M-file that specifies

%a PDE in time and one space dimension.

c = 1;

b = DuDx;

s = 0;

برای شرایط مرزی نیز مطابق معادله اصلی عمل می کنیم. برنامه نویسان شرایط مرزی را بگونه ای به فرم بالا در اورده اند تا برای تمامی معادلات عمومیت داشته باشد.ما با تعیین ضرایب بگونه ای عمل می کنیم تا فرم کلی شرایط مرزی تبدیل به شرایط مرزی مثال شود.

به شرایط ابتدایی دقت کنید.مقدار q برابر 0 است تا b حذف شود.در متیجه p برابر با u می شود.

و برای شرایط انتهایی نیز به همین صورت, q برابر صفر و مقدار p برابر با u-1 است.حالا نتایج رو در فایل bc1 ذخیره می کنیم.

function [pl,ql,pr,qr] = bc1(xl,ul,xr,ur,t)

%BC1: MATLAB function M-file that specifies boundary conditions

%for a PDE in time and one space dimension.

pl = ul;

ql = 0;

pr = ur-1;

qr = 0;

و همینطور شرط اولیه را در initial1.m ذخیره می کنیم.

function value = initial1(x)

%INITIAL1: MATLAB function M-
le that speci
es the initial condition

%for a PDE in time and one space dimension.

value = 2*x/(1+x^2);

و حالا نوبت به حل مساله به کمک دستور pdepe رسیده است.مساله را در زمان 10ثانیه نخست و طول واحد(مثلا یک لوله به طول واحد) حل می کنیم.

%PDE1: MATLAB script M-file that solves and plots

%solutions to the PDE stored in eqn1.m

m = 0;

% NOTE: m=0 specifies no symmetry in the problem. Taking

% m=1 specifies cylindrical symmetry, while m=2 specifies

% spherical symmetry.

%

% Define the solution mesh

x = linspace(0,1,20);

t = linspace(0,10,10);

%Solve the PDE

u = pdepe(m,@eqn1,@initial1,@bc1,x,t);

% Plot solution

figure(1)

surf(x,t,u);

title(‘Surface plot of solution’);

xlabel(‘Distance x’);

ylabel(‘Time t’);

figure(2)

for i=1:length(t)

   plot(x,u(i,:))

   hold on

end

جواب u بصورت یک ماتریس به اندازه t و x ذخیره شده است.برای مثال (u(1,5 مقدار دما در نقطه((t(1),x(5)

مشخص می کند.

ما می تونیم به کمک دستور((:,plot(x,u(1 بردار دما را در اغاز (t=0) رسم می کنیم.

مثال بعدی :

وکد زیر رو برای مساله به این صورت می نویسیم:

function [c,f,s] = eqn2(x,t,u,DuDx)

c = pi^2;

f = DuDx;

s = 0;

function [pl,ql,pr,qr] = bc2(xl,ul,xr,ur,t)

pl = ul;

ql = 0;

pr = pi * exp(-t);

qr = 1;

function u0 = initial2(x)

u0 = sin(pi*x);

و از دستور pdepe استفاده می کنیم:

m = 0;

x = linspace(0,1,20);

t = linspace(0,5,20);

u = pdepe(m,@eqn3,@initial3,@bc3,x,t);

figure(1)

surf(x,t,u);

title(‘Surface plot of solution’);

xlabel(‘Distance x’);

ylabel(‘Time t’);

figure(2)

plot(x,u(2,:))

title(‘Solution at t = 2’)

xlabel(‘Distance x’)

ylabel(‘u(x,2)’)

% Creat animation

figure(3)

fig = plot(x,u(1,:),’erase’,’xor’);

for k=1:length(t)

 set(fig,’xdata’,x,’ydata’,u(k,:),’color’,’r’)

 pause(0.1)

end

دریافت کتابچه حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات پاره اي با MATLAB

نوشته اموزش متلب_pdepe(حل عددی معادله حرارت پاره ای وابسته به زمان) اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

همان طور که می دونید برای حل معادلات PDE  ما نیاز داریم که ناحیه ای را مشخص کنیم تا معادله ما در این ناحیه حل شود. به عنوان مثال می خواهیم تغییرات گرما در یک ناحیه مستطیلی را بدست بیاوریم. می بایست ابتدا یک مستطیل تعریف کنیم یا بکشیم و سپس آنرا مش بندی کنیم.

در مرحله اول دستور pdetool را در پنجره فرمان بزنید :

با این کار پنجره محیط pdetool باز می شود و شما می توانید ناحیه های دلخواه خود را رسم کنید.

یک راه دیگر رسم نواحی دلخواه استفاده از دستورات متلب می باشد.

pderect([-0.5 1 -0.5 1],’R1′)

 یک مستطیل می کشد که گوشه چپ پایین آن در مختصات -0.5 و -0.5 قرار دارد و گوشه بالای سمت راشت در 1 و 1 قرار دارد. بر چسب آن را R1 می گذارد.

pderect([-0.2 0.8 -0.2 0.8],’R2′) 

یک مستطیل می کشد که گوشه چپ پایین آن در مختصات -0.2 و -0.2 قرار دارد و گوشه بالای سمت راست در 0.8 و 0.8 قرار دارد. بر چسب آن را R2 می گذارد.

pdecirc(0.3,0.3,0.4,’C1′)

 یک دایره به مرکز 0.3 و 0.3 می کشد که اندازه شعاع آن 0.4 است.

بعد از مشخص کردن ناحیه ها، می توانیم یک ناحیه را از دیگری کم کنیم و بین آنها را بگیریم.

برای انجام این رابطه ها از نوار ابزار set formula استفاده کنید و فرمول مورد نظرتون را وارد کنید.

مثلا در اینجا ما وارد می کنیم :

R1-R2+C1-C2

در مرحله بعد باید مش بندی کنیم برای این کار از منو Mesh

Initialize mesh را انتخاب می کنیم :

با دستور بالا مش بندی مثلثی انجام می شود.

شما می توانید این مش بندی را تغییر دهید. مش بندی مثلثی پیش فرض نوع مش بندی در pdetool در متلب می باشد.

همانطور که در شکل بالا می بینید مثلث های مش تقریبا بزرگ هستند. برای کوچک تر کردن مش و دقت حل معادله، می توانید از منو mesh

refine mesh را انتخاب کنید. که مثلث ها را بر چهار تقسیم می کند.

پست قبلی ما در مورد حل معادلات مشتق جزیی در متلب را نیز ببینید.

https://matlab1.ir/?p=1369

نوشته حل معادلات PDE با pdetool متلب اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.

كمترين نياز ما فرموله كردن مسائل PDE (از جمله ترسيم خصوصيات، نوشتن شرايط مرزي و معادلات با مشتقات جزيي) است. براي شروع كار پس از اجراي Matlab در خط فرمان تايپ كنيد:

pdetool

با اجراي اين دستور محيط گرافيكي براي حل PDE باز مي شود. اين محيط به شكل زير می باشد:

چه مسايلي را مي توان با اين ابزار حل نمود؟  

معادلات PDE به عنوان مدل رياضي پديده هاي مختلف استفاده مي شود. براي نمونه، معادلات بيضوي و هذلولوي را مي توان در حالت هاي دائم و غير دائم انتقال حرارت، جريان داخل خلل و فرج هاي نامنظم و براي جريان پتانسيل به كار برد.

به اين منظور مراحل زير را انجام مي دهيم:

–   استفاده از GUI براي ايجاد موضوع

–   ايجاد هندسه با CSG

–   تعريف شرايط مرزي

–   تعيين ضرايب قابل تغيير و مسئله PDE

–   مش بندي كامل

–   مشخص كردن سيستم حل كننده با تغيير متغيرهاي وابسته

–   شبيه سازي خواص تعريف شده

پروسه حل معادلات PDE با MATLAB كه از روش Finite Elements Method استفاده مي كند، شامل مراحل زير است:

• تعريف كردن هندسه موضوع (draw mode)
•   (boundry condition mode) تعريف شرايط مرزي

• انتخاب ضرايب معادله (PDE mode)PDE
•   (mesh mode) FEM فيلتر و صلاحديد
• مشخص كردن شرايط اوليه و حلگر (solve mode)PDE
• پس پردازش و حل PDE

معادله پايه جعبه ابزار PDE، معادله ديفرانسيل زير است كه به نام معادله بيضوي ( elliptic ) معروف است.

تعريف يك مسئله PDE  

براي شروع همان طور كه قبلا اشاره شد، از GUI يا رابط گرافيكي استفاده مي كنيم. مسئله اي كه ما قصد داريم آن را حل كنيم، معادله پواسون           مي باشد. هندسه اين مسئله به صورت quite complex است و شرايط مرزي از نوع ديريخله و نيومن هستند.

با اجراي Matlab در خط فرمان دستور pdetool را وارد مي كنيم يا از منوي start گزينه Toolbox و سپس گزينه Partial Differential Equation و بعد گزينه PDETool GUI را انتخاب مي كنيم. بعد از لحظاتي GUI به صورت زير ظاهر مي شود:

Grid را از منوي option/grid فعال كنيد. همچنين snap را از منوي options فعال نمائيد. اين گزينه به ترسيم كمك مي كند. اولين مرحله، ترسيم هندسه جسم مورد نظر است. GUI تعدادي از اشكال ساده مانند بيضي، مستطيل، دايره و مثلث را دارد. اين اشكال براي ايجاد ساختار مدل هندسي يا CGS Model به كار مي روند. هر عضو يك برچسب دارد. به عنوان مثال مستطيل اول ₁R و دايره اول ₁C و … . با انتخاب هر عضو       مي توان آن را جابجا كرد. از گزينه هاي copy,cut,clear,delete مي توان ويرايش هاي دلخواه را انجام داد.

براي انتخاب دو يا چند عضو مي توان از shift استفاده كرد. به طور پيش فرض كليه موضوعات با يكديگر

در فيلد ويرايش فرمول جمع مي شوند. (C1+R1+R2+E1)، مي توان مقادير ديگري در اين فيلد وارد كرد، مانند

به منظور ذخيره مدل CSG به عنوان يك M‐File از منوي File گزينه Save As را انتخاب كنيد. حال مي توان شرايط مرزي را تعريف كرد. Boundry Mode را با استفاده از آيكون Ω∂ و يا با انتخاب  BoundryMode از منوي Boundry ايجاد مي كنيم.

با Double‐click بر روي تك تك مرزها قسمت انتخاب شده، پنجره محاوره اي  BoundryCondition نمايان مي شود. در اينجا نوع شرايط مرزي را انتخاب كرده و به عنوان يك يك عبارت Matlab شرط مرزي خود را اعمال مي كنيد. در حين تغيير شرايط مرزي، شرط نيومان 5 را بر مرزها اعمال كنيد. در پنجره Boundry Condition شرط Neumann را انتخاب مي كنيم و عدد 5‐ را در جلوي پارامتر g وارد     مي كنيم. براي اعمال يك يك شرط Neumann خالص مقدار پارامتر q را صفر وارد مي كنيم. روي OK كليك مي كنيم. اين كار را بر روي تك تك مرزهايي كه به رنگ قرمز هستند انجام مي دهيم و پس از اعمال شرايط مرزي روي هر كدام از مرزهاي قرمز، به رنگ آبي در مي آيند.

با كليك بر روي آيكون PDE يا انتخاب PDE Specification از منوي PDE، نوع معادله را مشخص   مي كنيم. به عنوان مثال معادله بيضوي            . . را انتخاب مي كنيم و ضرايب f=10.0 و a=0 و c=1.0 را وارد مي كنيم.

بالاخره با ايجاد mesh مثلثي از طريق آيكون ∆ يا منوي Mesh>Initailize Mesh، سطح به قطعات مثلثي تقسيم مي شود. اگر نياز به حل دقيقتري داريم، با انتخاب Refine Mesh از منوي Mesh به مش ريزتر و حل دقيقتر و درعين حال زمان بر مي رسيم.

در اينجا روشهاي مختلفي براي ترسيم براي كمك به تصور ما از راه حل وجود دارد. از طريق آيكون

Plot Selection و يا در قسمت Parameters از منوي Plot به پنجره انتخاب نوع ترسيم مي رسيم. انواع متعددي از ترسيم موجودند كه تنظيمات دلخواه خود را انجام داده و خارج مي شويم و يا با انتخاب plot شكل سه بعدي آن نمايش داده مي شود.

نمونه هاي كاربردي  

در اين بخش نمونه هاي كاربردي ارائه مي شود. براي مشاهده اين كاربردها از گزينه Application از منوي Option قابل دسترسي هستند.

انتقال حرارت 

معادله انتقال حرارت يك معادله سهموي مي باشد كه به صورت زير است:

• ρ چگالي
• يا C ظرفيت گرمايي
• k ضريب انتقال حرارتي
• q نرخ انتقال گرما
• h ضريب انتقال گرماي جابجايي يا همرفتي
• يا  دماي خارج برحسب كلوين

با حل اين معادله مي توان توزيع دما T(x,y,z) را به صورت تابعي از زمان به دست آورد.

اين معادله در حالت دائم به يك حالت خاص معادله سهموي ساده مي شود:

بر روي تك تك مرزها دوبار كليك مي كنيم و شرط نيومن محيط اطراف آنرا  با شرط Neumann به صورت عايق (g=0) تعريف مي كنيم.

رساناي گرماي دائم و يك بعدي  

مسئله دوبعدي شامل يك مربع جاسازي شده به صورت لوزي داخل يك مربع چرخانده شده به اندازه 45 درجه نسبت به اولي مي باشد. مربع داراي خواص ناحيه اي به صورت ضريب انتقال حرارت 10 و چگالي 2 و لوزي داراي مشخصات انتقال گرمايي 4 و ضريب هدايت 2 و چگالي 1 مي باشد. هر دو ناحيه داراي ظرفيت گرمايي يكسان 0.1 مي باشند.

Heat Transfer را از منوي Options>Application فعال كنيد. در منوي Options گزينه Axis limits را انتخاب و محورها را در محدوده 3.5[ 0.5‐] قرار مي دهيم. مربعي به ضلع 3 و يك لوزي بوسيله Draw>Polygon ترسيم كنيد. سپس مطابق اشكال ادامه مراحل را دنبال نمائيد.

عبور جريان سيال از يك نازل ( لوله همگرا)  

اگر سيال غيرچرخشي باشد، بردار سرعتv برحسب گراديان پتانسيل مجهول u بيان مي شود.

مساله را بدين صورت بيان مي كنيم كه رابطه v و u به صورت v=grad(u) مي باشد. چون چگالي ثابت است درنتيجه div(v)=0 مي باشد. پس ما نياز به حل معادله div(grad(u))=0 خواهيم داشت.

ابتدا از منوي Options گزينه هاي Grid و Snaps را فعال مي كنيم. سپس از منوي

دانلود فایل اصلی

  حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی PDE در Matlab

دریافت کتابچه حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات پاره اي با MATLAB

نوشته حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی PDE در Matlab اولین بار در ايران متلب. پدیدار شد.