تبدیل فوریه

در قرن 19 ریاضیدان فرانسوی J.Fourier نشان داد که هر تابع تناوبی را می توان به صورت مجموع توابع سینوسی نمایش داد. سال ها بعد ایده او به سیگنال های تناوبی و غیر تناوبی تعمیم داده شد.
تبدیل فوریه هر سیگنال را به یک سری توابع نمایی مختلط با فرکانس های متفاوت تجزیه می کند. روش کار آن به صورت زیر است
X(f)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖x(t).e^(-2jπft) 〗 dt (1-4)
x(t) = ∫_(-∞)^(+∞)▒〖X(f).e^(-2jπft) 〗 df
در معادله فوق t نشان دهنده زمان، f فرکانس ، x سیگنال مورد نظر در بعد زمان و X سیگنال تبدیل یافته در بعد فرکانس است. رابطه 4-1 نشان دهنده تبدیل فوریه x(t) و رابطه پایین عکس تبدیل فوریه X(f) است. در حوزه زمان سیگنال x(t) در یک فرکانس خاص ضرب می شود و سپس مجموع آن برای تمام زمان ها محاسبه می شود. کاری که در واقع صورت می گیرد. سیگنال اصلی در یک عبارت مختلط شامل سینوس ها و کسینوس های فرکانس f ضرب می شود. سپس این حاصلضرب ها با هم جمع می-شوند. اگر حاصل جمع مقدار بزرگی بود می توان گفت که سیگنال x در فرکانس f دارای یک جزء غالب است. یعنی فرکانس f قسمت عمده فرکانس سیگنال را تشکیل می دهد. اگر سیگنال x(t) در فرکانس f دارای جزء غالب نباشد، حاصلضرب مقدار نسبتا کوچک خواهد بود[38].
اطلاعات ارائه شده در جمع مربوط به تمام زمان ها از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت است. در هر زمانی که فرکانس f اتفاق افتاده باشد تاثیر یکسانی در حاصل جمع دارد. این نشان می دهد که تبدیل فوریه برای سیگنال های غیر ایستا مناسب نیست. سیگنال غیر ایستا سیگنالی است که مشخصات آن در طول زمان تغییر می کند.
تبدیل فوریه نشان می دهد که آیا جزء فرکانسی خاصی در سیگنال وجود دارد یا نه. این اطلاعات مستقل از زمان وقوع آن است. یعنی زمان وقوع یک جزء فرکانسی به ما نشان داده نمی شود.
شکل (4-1) نشان دهنده سیگنال با رابطه زیر است.
x(t)=cos(2π5t) + cos(2π10t) + cos(2π20t) + cos(2π50t) (2-4)
این سیگنال دارای چهار جزء فرکانسی 5 ، 10، 20 و50 هرتز است. که در تمام زمان های سیگنال رخ می دهد. در شکل (4-2) از این سیگنال تبدیل فوریه گرفته ایم. چهار قله موجود در این شکل نشان دهنده چهار جزء فرکانسی است[39].
در شکل (4-3) یک سیگنال سینوسوئید نشان داده شده است. این سیگنال نیز دارای همان چهار مولفه فرکانسی است. ولی در زمان-های متفاوتی رخ داده است. در شکل (4-4) تبدیل فوریه این سیگنال نشان داده شده است. همانطور که می بینیم تبدیل فوریه این سیگنال تقریبا شبیه سیگنال قبلی با همان چهار قله است. نویز هایی که بین این قله ها وجود دارد نشان دهنده آن است که این جزء های فرکانسی نیز در سیگنال وجود دارد. چون مقدار جزء فرکانسی عمده ای نیستند مقدار کوچکی دارند. دلیل پیدایش آنها هم تغییرات ناگهانی بین فرکانس های مختلف است.

شکل 4-1 – سیگنال ایستا دارای چهار جزء فرکانسی 5 ، 10، 20 و 50 هرتز

شکل 4-2 – تبدیل فوریه سیگنال رابطه 2-4))

شکل 4-3 – سیگنال غیر ایستا دارای چهار جزء فرکانسی 5، 10، 20 و 50 هرتز

شکل 4-4 – تبدیل فوریه سیگنال شکل (3-4)

بنابراین یکی از مشکلات تبدیل فوریه این است که ابزار مناسبی برای تحلیل سیگنال های غیر ایستا نمی باشد. به خاطر این مشکلات دانشمندان تبدیل فوریه با دوره کوتاه (STFT)را معرفی کردند. در این تبدیل سیگنال به بخش های تقسیم می شود به طوریکه هر بخش از سیگنال را بتوان ایستا فرض کرد. برای این منظور پنجره ای انتخاب می شود که عرض آن برابر بخشی از سیگنال که ثابت است می باشد. سپس تابع پنجره و سیگنال در هم ضرب می شوند. این حاصل ضرب یک سیگنال است که باید تبدیل فوریه آن محاسبه شود.
رابطه 3-4 ، اعمال STFT را بر روی سیگنال نشان می دهد.

〖STFT〗_x^((w) ) (t^’,f)= ∫_t^∞▒[x(t).w^* (t-t^’)] .e^(-j2πft) dt (3-4)
در این رابطه x(t) سیگنال اصلی ، w(t) تابع پنجره و * بیانگر مزدوج مختلط است. همانطور که مشخص است STFT چیزی جز تبدیل فوریه حاصلضرب سیگنال در تابع پنجره نیست. برای هر t’ و f یک سری ضرایب STFT جدید محاسبه می شود.
مشکلی که در STFT وجود دارد به مفهومی به نام اصل عدم قطعیت هیزنبرگ مربوط است این اصل به اندازه حرکت و مکان ذرات در حال حرکت بر می گردد که می تواند به عنوان اطلاعات زمان – فرکانس سیگنال بکار رود.
این اصل به طور ساده می گویید که نمی توان نمایش دقیق و همزمان زمان- فرکانس یک سیگنال را بدست آورد. یعنی کسی نمی داند چه اجزای فرکانسی در هر زمان از نمونه ی یک سیگنال وجود دارد. چیزی که می توان فهمید فاصله های زمانی است که هر باند فرکانسی بوجود آمده که خود مشکل درجه تفکیک پذیری یا رزولیشن را بوجود می آورد.
پس تبدیل فوریه و نسخه اصلاح شده و تعمیم یافته آن STFT هر دو دارای مشکل می باشند . محققین برای این دو مشکل به تبدیل موجک روی آوردند.
تبدیل فوریه دارای کاربردهای مختلف ی مانند استخراج ویژگی ، فشرده سازی ، حذف نویز و … می باشد. که مهمترین آنها ویژگی-های است که برای تحلیل و دسته بندی سیگنال ها استفاده می کنیم.