تبدیل والش

توابع والش در سال 1923 توسط والش با ارائه توابع متعامد معرفی شد[41]. اما در سال 1969 از توابع والش برای تبدیل والش استفاده شد. تبدیل والش یک تبدیل بهینه موضعی و غیر سینوسی است این تبدیل یک تبدیل متعامد است که یک سیگنال را به مجموعه ای ازموج های مربعی تجزیه می کند که این موج های مربعی توابع والش نامیده می شوند. دامنه تابع والش دارای دو مقدار 1+ و 1- است .[42] تبدیل والش کاربرد های زیادی دارد از جمله این کاربرد ها می توان به تحلیل طیف توان، فیلترینگ، پردازش صوت و سیگنال های پزشکی، تسهیم و کد کردن ارتباط ، مشخص کردن سیگنال های غیرخطی، حل کردن معادلات غیر خطی، تحلیل وطراحی منطقی اشاره کرد [43].
4-4-1- توابع والش
تابع والش شامل زنجیره ای از پالس های مربعی است. با مقدار های -1 و 1+ این چنین که تبدیل ممکن است در فاصله زمانی ثابت رخ دهد. زمان شروع ابتدایی همیشه 1+ است. یک ویژگی مهم از تابع والش توالی است. که از تعداد صفر گذرانده در واحد زمان مشخص می شود. هر تابع والش یک مقدار توالی منحصر به فرد دارد. در شکل(4-8 )توابع والش برای n=16 نشان داده شده است. توابع والش و تبدیل والش نوعی خاص از توابع و تبدیل هادامارد می باشند. ماتریس والش و هادامارد فقط در ترتیب ردیف ها با یکدیگر متفاوت هستند[41]. روش های مختلفی برای بدست آوردن تبدیل والش وجود دارد که محبوب ترین و بهترین آنها استفاده از ماتریس هادامارد است که در سیستم های دیجیتال به تبدیل هارمارد مشهور است در بخش های آتی طریقه بدست آوردن تبدیل والش را بیان می کنیم.

شکل 4-8- تابع والش برای n=8
4-4-2- تبدیل والش
روش های زیادی برای بدست آوردن تبدیل والش وجود دارد.این روش ها بر اساس ماتریس والش می باشد که به مرتبه سطرها بستگی دارد.. تبدیل والش سیگنال x در حوزه زمان را به سیگنال y در حوزه توالی(sequency) نگاشت می کند.
X=1/√N H_N Y , Y=1/√N H_N X (6-4)
در این رابطه H_N ماتریس والش می باشد . پس برای اینکه تبدیل والش را بر روی سیگنال اعمال کنیم ابتدا باید ماتریس والش را بدست آوریم. روش های زیادی برای بدست آوردن ماتریس والش وجود دارد. چند روش در زیر بررسی می شود.
1- نظم طبیعی تبدیل والش (Natural-ordered Walsh transform): در این روش برای بدست آوردن ماتریس والش از ماتریس هادامارد استفاده می کنیم. ماتریس هادامارد یک ماتریس مربعی N*N است که سطر ها و ستون های آن فقط شامل +1 و -1 است. که نسبت به همدیگر متعامد هستند. این ماتریس برای هر N تعریف نمی شود ما می توانیم این ماتریس را برای هر N که عاملی از 2 است بر اساس ماتریس هادامارد اصلی بسازیم اگر N عاملی از 2 نباشد سطر و ستون های اضافی را صفر در نظر می گیریم. طریقه ساخت ماتریس H_2N را از ماتریس H_2 در زیر می بینیم. ماتریس H_2 ماتریس هادامارد اصلی است[44].
H_2= (■(1&1@1&-1)) , H_2N=(■(H_N &H_N@H_N&-H_N )) (7-4)
به عنوان مثال برای ساختن ماتریس والش به ابعاد n می توان آن را با استفاده از ماتریس والش n/2 بسازیم. در زیر ماتریس والش 4*4 را با استفاده از ماتریس والش پایه 2*2 ساخته ایم.

(8-4)

در ماتریس هارمارد h(n,k) عنصر سطر n ام و ستون k ام می باشد و از رابطه 5 نیز بدست می آید. (9-4) H(k,n)=h(k_(p-1) k_(p-2 )… k_0 ,n_(p-1 ) n_(p-2) n_0) = 〖(-1)〗^∑_(r=0)^(p-1)▒〖k_r n_r 〗 = ∏_(r=0)^(p-1)▒〖(-1)〗^(k_r n_r )

در این رابطه n= (n_(p-1 ) n_(p-2) 〖…n〗_0) مبنای 2 شماره سطرعنصر n ام را نشان می دهد.
2- نظم دوتایی تبدیل والش (Dyadic-ordered Walsh transform) : در این روش ما از تعریف تقارن زوج استفاده می کنیم و ماتریس والش را می سازیم[45].
یک بردار دارای n مولفه تقارن زوج دارد اگر و تنها اگر n مولفه به n/2 زوج با مقدار های یکسان تقسیم شود. مثلا برای برداری با چهار مقدار باید دو زوج با مقدار های یکسان وجود داشته باشد.
X=(1,1,1,1)x1=(1,1,-1,-1)و x2=(1,-1,1,-1)و x3=(1,-1,-1,1) (10-4)
با استفاده از این چهار بردار بدست آمده ماتریس والش را می سازیم.

(11-4)

3- نظم توالی تبدیل والش (Sequency-ordered Walsh transform) : یکی دیگر از روش های بدست آوردن تابع های والش استفاده از توالی است. توالی به عنوان یک ملاک برای جداسازی توابع تناوبی تعریف می شود و یک تعمیم از مفهوم فرکانس در تبدیل فوریه و حوزه فرکانس است و به صورت نصف صفرهای عبور کرده در واحد زمان تعریف می شود. [46]. اگر سیگنال گسسته X تعداد η صفر را در واحد زمان عبور دهد داریم.
Sequency = {█(( η)/2 η:Even @( η+1)/2 η ∶Odd )┤ (12-4)
در این تعریف سطر های ماتریس والش ایجاد شده به نوعی صعودی هستند و بر اساس تعداد تغییر علامت در یک سطر از بالا به پایین مرتب شده اند . و ماتریس والش را بر اساس مقدار توالی مرتب می کنیم به هر یک از سطر ها تابع والش گفته می شود. ماتریس والش بدست آمده برای n=4 به صورت زیر است.

(13-4)

در جدول(4-1)، 8 مقدار برای تابع والش نشان داده شده است. در این جدول مقدار داخل ستون شاخص برابر با تعداد تغییر علامت-ها در هر سطر است که مقدار توالی را نشان می دهد.
بعد از اینکه ماتریس والش را بدست آوردیم. این ماتریس را در سیگنال اصلی ضرب می کنیم. با این کار سیگنال از حوره زمان به حوزه توالی انتقال می یابد.
جدول 4-1 – مقدار توابع والش و خروجی این تابع