يك فيلد مهم در امنيت اطلاعات، الگوريتم رمزگذاري تصوير ميباشد كه به يك نقطه تمركز تحقيقاتي تبديل شده است. همزمان چندين كار برروي مجموعه فركتال به عنوان كليد رمزگذاري ميان الگوريتمهاي مختلف رمزگذاري انجام شده است. در اين مقاله مجموعه Mandelbrot (به طور مختصر مجموعه M) و تبديل Hilbert براي توليد كليد تصادفي به كار گرفته ميشود. از آنجائيكه مجموعه M ميتواند تنها با يك تعداد از پارامترها تكرار شود، از اينرو ميتواد فضاي ذخيرهسازي را به مقدار زيادي كاهش دهد. علاوه بر اين كرانهاي نامتناهي از مجموعه M و تبديل Hilbert،تصادفي بودن كليد را فراهم مينمايد. نتايج تجربي نشان ميدهد كه حتي اختلال جزئي پارامترها ميتواند كليد را به طور چشمگيري تغيير دهد. علاوه بر اين الگوريتم نيازمند فضاي كوچك براي ذخيرهسازي كليد ميباشد و رمزگذاري در زمان واقعي ميتواند حاصل شود.
کلمات کلیدی:
مجموعه Mandelbrot
، تبدیل Hilbert
، رمزگذاری تصویر
1- مقدمه
امروزه تکنولوژی چند رسانه ای به طور گسترده مورد استفاده قرار میگیرد و رمزگذاری تصویر یک تکنیک موثر برای حفاظت تصویر میباشد . اغلب الگوریتم های رمزگذاری متعارف برای داده متنی یا داده باینری مورد استفاده قرار میگیرد و آنها دارای پیچیدگی محاسباتی بالای میباشند از آنجای که تصاویر چند رسانه ای دارای ساختارهای کدگذاری خاص و حجم انبوهی از داده ها میباشند ، الگوریتم رمزگذاری قدیمی برای برلوردن نیازهای زمان واقعی بسیار دشوار بوده و آنها ممکن است فرمت داده را تغییر دهند. در سال های اخیر متد های رمزگذاری تصویر شامل درست کردن تصویر در ترکیب با دیگر تکنولوژی پردازش تصویر و رمزگذاری از کلید ها استفاده می نماید. Gao یک الگوریتم را به ارمغان اورد که یک ماتریس را مبتنی بر نگاشت Chaotic برای درست کردن تصویر تولید میکند [1] . Wu یک رمزگذاری تصویر را با ترکیب کدگذاری Huffman پیشنهاد میدهد [2] . Chen یک الگوریتم را پیشنهاد میدهد که کلید را مبتنی برنگاشت Chaotic سه بعدی پیشنهاد میدهد و تصویر را با عملکرد XOR رمزگذاری میکند [3]. براساس الگوریتم Liao یک رمزگذاری تصویر متقارن [4] . را پیشنهاد میدهد . Wang الگوریتم Liao را مورد آنالیز قرار داده و یک الگوریتم بهبود یافته را مبتنی بر نگاشت منطقی پیشنهاد میدهد [5] . Rozourvan یک الگوریتم را با استفاده از مجموعه M به عنوان کلید استفاده میکند [6] . رمزگذاری یک تصویر با مجموعه M یک روش جدید را برای کاربرد های فرکتال پیشنهاد میدهد. مجموعه M میتواند توسط چندین پارامتر ترسیم شود که ذخیره سازی پارامتر ها کلید را آسانتر میسازد. در همین حال مجموعه M دارای کران های بی نهایت میباشد . این مقاله الگوریتم Rozourvan بهبود میدهد و یک الگوریتم با ترکیب مجموعه M و تبدیل Hilbert بیان میگردد.
2- الگوریتم
2-1- مجموعه Mandelbrot
مجموعه M از نام Benoit Mandelbrot گرفته شده است که یک مجموعه از نقاط در صفحه مختلط میباشد که مرز آن یک صفحه فرکتال را شکل میدهد . مجموعه M در این مقاله مورد استفاده قرار گرفته است . به این خاطر که آن دارای ساختار های پیچیده ناشی از یک تعریف ساده میباشد و یک تغییر ساده از پارامتر میتواند به پیاده سازی شکل مجموعه M بپردازد یک مجموعه M میتواند به طور معمول به صورت زیر تعریف شود :
مجموعه M دارای شکل های توسعه یافته بسیاری میباشد . در این مقاله مجموعه M به صورت زیر ارائه شده است :
در روند تکرار مجموعه M ، چهار پارامتر وجود دارد اگر یکی از آنها تغییر کند مجموعه M متفاوت خواهد بود .
2-2- منحنی Hilbert
یک منحنی Hilbert یک منحنی پرنمودن فضای فرکتال میباشد که ابتدا توسط ریاضیدان آلمانی David Hilbert در سال 1891 پیشنهاد گردید . امروزه منحنی Hilbert به طور گسترده در پردازش تصویر مورد استفاده قرار میگیرد [7,8] .
منحنی Hilbert یک روش نگاشت فضای چند بعدی به فضای یک بعدی می باشد . از طریق نگاشت مختصات یک پیکسل در مختصات 2 بعدی به صورت (x,y) نشان داده می شود که می تواند تبدیل به یک نشانه یک بعدی I شود .
ما میتوانیم منحنی Hilbert را با استفاده از مراحل زیر بدست آوریم . ابتدا لبه مربع با تقسیم پیوسته از مربع اصلی به واحد های مربعی 2n تقسیم می شود . سپس منحنی در طول مربع واحد ، هر واحد مربع حداقل یک بار درست می گردد. بنابر این هر نقطه برای هر تصویر اصلی در منحنی Hilbert اصلی دارای یک مختصات منحصر به فرد می باشد ، در غیر این صورت همان خواهد بود . عامل اصلی که اثرات منحنی Hilbert می باشد ، مختصات نقطه آزاد می باشد . در یک تصویر یکی از چهار نقطه گوشه می تواند نقطه شروع منحنی باشد .
2-3- رمزگذاری و رمزگشایی
همانطور که می دانیم هر تصویر رنگی یک مولفه از سه لایه می باشد ، بنابراین ما میتوانیم هر لایه را به صورت مستقل پردازش کنیم . محدوده مقادیر هر پیکسل در یک لایه [0,255] می باشد . ما فرض میکنیم اندازه تصویر n×n می باشد که n توانی از 2 می باشد . هر پیکسل در تصویر اصلی به صورت O(x,y) علامتگذاری می شود که مقادیر آن ، رنگ هر پیکسل می باشد . ما از نماد k برای نمایش کلید استفاده میکنیم و T ، تصویر بعد از رمزگذاری می باشد .
تابع رمزگذاری به صورت زیر می باشد :
تایع رمزگشایی به صورت زیر می باشد :
برای ایجاد کلید حساس تر ، ما از منحنی Hilbert برای تبدیل مجموعه M به عنوان کلید استفاده نمودیم . ایتدا مجموعه M که دارای 3 لایه می باشد به عنوان یک ماتریس در نظر گرفته میشود . هر نقطه i(x,y) در ماتریس را می توان به عنوان یک مختصات 2 بعدی در نظر گرفت و i(0,0) به بالاترین پیکسل سمت چپ اشاره دارد . با بکار گیری منحنی Hilbert ، ما می توانیم هر پیکسل را به یک مختصات یک بعدی تبدیل نمائیم . ثانیا با از یک r صحیح استفاده نمودیم که فاصله داخلی از یک نقطه به نقطه دیگر با پیمودن منحنی می باشد تا مقدار پیکسل مجدد محاسبه شود اگر فاصله در منحنی Hilbert بین بین پیکسل های H (xh , yh) و i(x,y) ، مضرب صحیحی از r باشد آنگاه مقدار H (xh , yh) در فاصله حقیقی بین H , I ضرب می شود و به مقدار i(x,y) اضافه می شود معدلات به شرح زیر می باشد :
که
از طریق روند فوق ما به یک کلید با حساسیت بالا بدست می آوریم چنانچه ما یک مقدار مناسب از بازه r را بر روی منحنی Hilbert انتخاب کنیم ، سرعت رمزگذاری میتواند سریع باشد .
3- شبیه سازی و تحلیل
به منظور امکان سنجی آزمایش ، آزمایش های متعددی بر روی تصاویر مختلف انجام می شود در مجموع چهار آزمایش صورت می گیرد هر یک از تصاویر مقایسه میشود .
ما تصاویر فلفل ها و بوزینه را انتخاب می کنیم همان طور که در شکل 1و2 نشان داده شده است . همگی آنها دارای ابعاد یکسان (256 × 256) می باشند . ما دو مجموعه M متفاوت را به عنوان کلید انتخاب میکنیم . که در شکل 3 و 4 نشان داده شده است . پارامتر های مجموعه M در جدول 1 ارائه شده است . برای نشان دادن نقش r ، مقادیر PSNR در چهار آزمایش با r مختلف مورد محاسبه قرار میگیرد .
شکل 1. فلفل شکل 2. بوزینه
جدول 1. پارامترهای مجموعه M برای دو کلید
شکل 3. کلید 1 شکل 4. کلید 2
عنوان مقادیر PSNR در آزمایشات در شکل 5و6 نشان داده شده است. محدوده فاصله بازه r[1,65025] می باشد . علاوه بر این ما آزمایشات یکسانی را با متد پیشنهادی توسط Rozouvan [6] انجام دادیم . نمودار های PSNR در شکل 7و8 ارائه شده است. محدوده r [0,254] می باشد . با توجه به شکل ها متوجه خواهیم شد که مقادیر PSNR به سرعت بالا میرود چنانچه r بزرگتر از یک مقدار بحرانی باشد در آزمایشات انجام شده توسط متد Rozouvan ، مقدار بحرانی 150 می باشد . در آزمایشات انجام شده توسط ما متد بحرانی 40000 می باشد . از این رو مقدار بازه r در متد ما می تواند در محدوده وسیعتری از متد Rozouvan انتخاب شود .
شکل5. مقادیر PSNR برای تصاویر رمزگذاری شده با استفاده از کلید 1 توسط متد ما
شکل 6. مقادیر PSNR برای تصاویر رمزگذاری شده با استفاده از کلید 2 توسط متد ما
شکل 7. مقادیر PSNR برای تصاویر رمزگذاری شده با استفاده از کلید 1 توسط متد [6] .
شکل 8. مقادیر PSNR برای تصاویر رمزگذاری شده با استفاده از کلید 2 توسط متد [6] .
جدول 2 پایین ترین مقادیر PSNR و r متناظر آن را ارائه می دهد L بیانگر پایین ترین مقدار PSNR توسط متد ها می باشد و L’ توسط متد Rozouvan است. جدول 2 ، نشان می دهد که متد ما دارای تاثیر رمزگذاری بهتر نسبت به متد Rozouvan می باشد .
جدول 2. حداقل مقادیر برای هر آزمایش PSNR
شبیه سازی ها بر روی سیستم نویسنده اجرا شده یک بازه زمانی در آزمایش مورد استفاده قرار گرفت تا زمان آغاز و پایان رمزگذاری را اندازه گیری نماید. در نتایج تجربی ما ، روند رمزگذاری و رمزگشایی می تواند زمان واقعی باشد ( با ارائه یک r بزرگتر از 3000 و تصویر 256 ×256 ) . در سیستم نویسنده کل روند (رمزگذاری و رمزگشایی) در حدود 42/1 ثانیه زمان می برد . از این رو متد ما می تواند در کد گذاری ویدئو زمان واقعی مورد استفاده قرار بگیرد . در نهایت ما آزمایش را بر رو ی رمزگشایی با کلید غلط انجام می دهیم . کلید غلط در جدول 3 نشان داده شده است . همانطور که از جدول 3 قابل رویت است هنگامی که پارامتر Xcenter ، 7- 10 بزرگتر از پارامتر صحیص است ، تصاویر اصلی نمی تواند رمزگشایی شود مقایسه بین یک تصویر رمزگشایی صحیح و تصویر اصلی یک MSE با مقدار صفر را ارائه می دهد ( که دلالت بر یک مقدار PSNR نا محدود دارد ).
4- نتیجه گیری
در این مقاله ،الگوریتمی که از کلید فرکتال استفاده می کند مورد بحث قرار گرفت نتایج تجربی نشان می دهد که با ترکیب تبدیل Hilbert با کلید مجموعه M جنبه های مربوط را در مقایسه با متد Rozouvan بهبود می دهند. متد ما رمزگذاری کارآمد تری را ارائه می دهد. مقدار بازه r می تواند در یک محدوده بزرگتر انتخاب شود علاوه بر این متد ما دارای کلید حساس تری می باشد (7- 10 ) . چنانچه یک بازه مناسب از منحنی Hilbert انتخاب شود ، الگوریتم می تواند زمان واقعی باشد . در این مقاله مجموعه M به عنوان کلید انتخاب می شود . اما ما می توانیم هر مجموعه فرکتالی را برای رمزگذاری تصویر انتخاب کنیم . در کار آینده می توانیم تاثیر محدوده پارامترهای مجموعه M را به صورت دقیق بررسی کنیم.
