معيار عدالت تناسبی

فرض مي كنيم شبكه اي با J لينك در اختيار داريم و ظرفيت هر لينك را با C_j نمايش مي دهيم. مجموعه كل کاربرها Â بوده و يك مسير R_r، زير مجموعه اي ناتهي از J مي باشد. به هر كاربرr ، يك مسير R_r را مرتبط مي كنيم و به آن  تابع سودمندي U _r(x_r) را نسبت مي دهيم كه در آن x_r نرخ اختصاص يافته به كاربر مي باشد و همچنين فرض مي كنيم تابع سودمندي تابعي افزايشي و اكيداً‏‎ْ محدب است و پيوسته و مشتق پذير بر حسب مقادير نامنفي آرگومان خود ميباشد.

بعلاوه فرض مي كنيم توابع سودمندي خاصيت جمع پذيري دارند (در عمل، کاربرهای موجود در شبکه، مستقل از يکديگر می باشند و بنابراين، فرض جمع پذيری فرض  قابل قبولی است) لذا براي حداكثر كردن تابع سودمندي كل سيستم، نرخهاي بهينه سيستم بايد مسئله زير را حل كنند:

SYSTEM(U,A,C):

Max            (6-1)                                            

                                             Subject to:     A^T x£ C                                                 Over:             x ³0

كه در آنC=(c_j , jÎJ)  بردار ظرفيت لينكها وU=(u_r(.) , rÎÂ)  بردار توابع سودمندي و
 X=(x_r , rÎÂ) بردار نرخ كاربرها و ماتريسA= (A_jr , jÎJ , rÎÂ)  ارتباط لينك ها و مسيرها را مشخص ميكند بعبارتي A_jr=1  اگر لينك j متعلق به مسيرR_r باشد و در غير اينصورت A_jr=0 .

چنانكه  در فصل چهارم اشاره شده است، با توجه به اکيداً محدب بودن توابع سودمندي و فشرده بودن ناحيه تقيد، مسئله فوق داراي پاسخي بهينه و منحصر بفرد بوده ولي در حالت کلی با توجه به اينكه توابع سودمندي هر كاربر براي شبكه نامعلوم است، مسئله به دو زير مسئله تجزيه ميشود. يكي از اين زير مسئله ها توسط كاربرها و ديگري توسط شبكه حل می گردد و ثابت ميشود كه جواب نهائي پاسخ يكتاي معادلات (6-1) ميباشد. اين دو مسئله عبارتند از:

مسئله كاربر r :

USER_r (U_r ; l_r ) :

Max    U_r(w_r / l_r ) – w_r(6-2)                                              

Over:        w_r ³0

مسئله شبكه:

NETWORK(A,C; W) :

                                              Max            (6-3)                                                                                                                     l                                       Subject  to:         A^T X £ C

                                              Over:                  X³0

كه در روابط فوق، l_r  هزينه بر واحد نرخ براي كاربرr است و توسط شبكه به كاربر مزبور اعلان ميگردد و w_r هزينه اي است كه كاربر r در واحد زمان می پردازد.

در  فصل چهارم بيان شده  است كه  همواره  بردارهاي   L=(l_r , r Î Â) ، W=( w_r , rÎÂ)  و X=(x_r , r ÎÂ)  كه در شرط  w_r = l_r . x_r , rΠ صدق مي كنند وجود دارند بقسمي كه w_r مسئله USER_r (U_r ; l_r ) و X مسئله NETWORK(A,C;W) را حل مي كنند و بعلاوه X پاسخ يكتائي و بهينه مسئله SYSTEM(U,A,C) مي باشد.

مفهوم عدالت و فرم تابع سودمندي كاربرها ارتباط تنگاتنگي با يكديگر دارند. بعنوان مثال، جهت دستيابي به معيار عدالت تناسبي در سطح شبكه، توابع سودمندي كاربرها بايد به فرم لگاريتمي باشد[13] در ضمن، در اين حالت، مسئله کاربر r دارای يک جواب يکتا برابر با w_r می باشد و نيازی به حل کردن مکرر آن وجود نخواهد داشت.

الگوريتمي كه Kelly براي حل مسئله NETWORK(A,C;W) ارائه كرده است، از سيستم معادلات تفاضلي زير تشكيل شده است:

                                                              

حالت عمومی تر معادلة فوق، توسط دکتر گلستانی معرفی گرديده است [13]. اين معادله برای معيارعدالت تناسبی (W,a)  بصورت انتها- به- انتها قابل پياده سازی بوده و بصورت زير می باشد.

(6-4)                                

که در اين روابط:

     {x}⁺@max(0,x)                                                    (6-5)                            

همچنين، k_r پارامتر بهره متناظر با كاربر r ام و تابع p_j(.) مطابق شکل (6-1) نشان دهنده تابع جريمه لينكj مي باشد و تابعي مقعر و افزايشي از آرگومان خود مي باشد. اين تابع جريمه در محل لينك محاسبه ميگردد.

شکل 6-1: تابع جريمه لينک

يكي از تعابيري كه براي سيستم (6-4) ارائه شده است اين است كه p_j(y) هزينه شارژ شده توسط لينك j  ام بر واحد فلوي عبور كننده از آن لينك ميباشد وقتي كه فلوي كل عبوري برابر y باشد. بعبارت دقيقتر p_j(y) همان تابع جريمه معرفي شده براي حل مسئله بهينه سازي محدب مقيد مي باشد [68].

شبكه با تنظيم x_r[n] براي هر کاربر r سعي در متعادل كردن  با يك مقدار هدف w_r دارد.

با توجه به معادله (6-4) ميتوان نتيجه گرفت كه در نقطه تعادل سيستم  X^*=(x_r^*, rÎÂ) داريم :

  , rÎÂ (6-6)                                

 

بايد توجه داشت که نرخ های تعيين شده در معادله (6-6) همان نرخهای بهينه می باشند.[13]