مقدمه
این کتاب می کوشد تا زندگی را برای علاقمندان به تکنیک های تخفیف دستور مدل به خصوص روش های تجزیه ی تعمیم یافته ی مناسب (PGD) را آسان کند. ما می دانیم که غالبا دستیابی به یک برنامه ی PGD مناسب دشوار است و همچنین اینکه نوعی منحنی یادگیری با شیب زیاد وجود دارد. برای غلبه بر این مشکلات، کتاب حاضر تا حد امکان می کوشد تا بخش کدگذاری PGD را آسان سازد.
امروزه کتاب های زیادی در رابطه با تخفیف دستور مدل بطور کلی و PGD بطور خاص وجود دارد. با این حال، ما عمیقا معتقدیم که این کتاب جنبه هایی از مبحث مورد نظر را پوشش می دهد که منابع دیگر به طور کامل مورد بررسی قرار نگرفته اند.
شاید بزرگ ترین مزیت PGD بر دیگر تکنیک های تخفیف مدل توانایی آن در کنار امدن با مشکلات پارامتری است که در فضاهای فازی با ابعاد بالا تعریف شده اند. این کتاب با مشکل کلاسیک پواسون شروع شده و به سرعت به سمت مشکلات پارامتری قدم برمیدارد. از میان مشکلات پارامتری، مواردی که کلاسیک نبوده اند را انتخاب کرده ایم. مشکلات پوشش داده شده در معنایی که ما مفهوم پارامتر را فراتر از معنای کلاسیکی کلمه بکار می بریم، کلاسیک نیستند. بر همین اساس، نشان خواهیم داد که شرایط مرزی و به خصوص بارها، در واقع می توانند به عنوان پارامتر در نظر گرفته شوند.
در فصل 3 نشان می دهیم چطور طبق منطق PGD، جایگاه یک بار می تواند به طور کارآمدی به عنوان یک پارامتر در نظر گرفته شود که به یک برنامه ی ساده ی تعاملی تبدیل می شود که در آن کاربر قادر است با یک پرتو سگدست بازی کند و در زمان واقعی پیکربندی تغییرشکل یافته ی آن را ببیند. گرچه مشکل دستیابی به یک سطح پاسخ برای باری متحرک به طور سنتی جداناپذیر یا به عبارت دیگر غیرقابل تخفیف درنظر گرفته شده است، نشان خواهیم داد که تحت منشور PGD می توان آن را به طور موثری تخفیف داد. در مرحله ی برون خطی (آفلاین) روش ها، عملکردها یا حالت هایی که به راه حل نزدیک می شوند محاسبه شده تا در حالت برخط به پاسخی در زمان واقعی دست یابیم.
در فصل 4، با درنظر گرفتن قابلیت فراارتجاعی به عنوان مشکلی در مدل، مباحث پیشین را به مسئله ی غیرخطی گسترش می دهیم. مشکلات غیرخطی همواره به عنوان مشکلی برای تکنیک های تخفیف دستور مدل محسوب شده اند چراکه آن ها باعث اختلال در بیشترین قسمت از این مدل می شوند به خصوص هر زمان که ماتریس سختی مماس باید دوباره به هم وصل شود. به علاوه، در این فصل نشان خواهیم داد که چگونه فرایند خطی سازی ساده و آشکار به برنامه ای ظریف مبدل می شود که قادر است در محدودیت های واقعی، نتایجی سه بعدی فراهم کند.
در فصل 5، ما مفهوم پارامتر را به سطحی بالاتر ارتقاء می دهیم. در واقع، نشان می دهیم چگونه مشکلات اولیه و با ارزش مرزی می توانند به طور کارآمدی در چارچوب PGD با در نظر گرفتن حیطه های شرایط اولیه به عنوان پارامتر، تخفیف یابند. اما شرایط اولیه در واقع مقادیر بعد نامحدود هستند و بر همین اساس به تخفیف بیشتری نیاز است. پس از گسسته سازی عناصر محدود، تجزیه ی متعامد مناسبی بر بخشی از مشکلات مشابه به مورد اول اعمال می شود. سپس، با تعداد اندکی از پارامترها، شرایط اولیه می توانند به طور موثری به عنوان پارامترهای جدید مدل در نظر گرفته شوند.
با در نظر گرفتن پویایی جامد به عنوان یک مشکل مدل، ما نشان می دهیم که PGD برای مشکلات اولیه و با ارزش مرزی پاسخی کاربردی ارائه می کند. این رویکردها دستاوردهای حائز اهمیتی را به لحاظ هزینه ی محاسباتی ایجاد کرده است که کارکردهای واقعی در حوزه ها مانند جراحی مجازی را ممکن می سازد.
ما این اطمینان را می دهیم که خواننده ی کتاب مشکل و مسئله ی مورد علاقه ی خود را هر یک از نمونه های ارائه شده در کتاب مشاهده کند و اینکه کدهای MATLAB که در ادامه ی کتاب آمده است، زندگی آن را راحت تر می کند.